Question

6．如圖所示，AB為半徑R=1.25m的四分之一光滑圓軌道，BC為長度L=2m、離地高度h=5m的水平桌面，DE為水平地面．現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的滑塊從A點(diǎn)由靜止開始下滑，最后落在水平地面上．已知滑塊質(zhì)量m=1kg，與桌面間的動摩擦因數(shù)μ=0.4，不計(jì)空氣阻力，重力加速度g=10m/s²，求：
（1）滑塊到達(dá)軌道最低點(diǎn)B時對軌道的壓力大��；
（2）滑塊落地點(diǎn)到桌子邊緣D點(diǎn)的距離；
（3）如果在C點(diǎn)到地面之間放置一塊木板，木板與地面間的夾角θ=53°（圖中虛線所示），則滑塊能否落在木板上？若不能，請說明理由；若能，請求出它第一次在木板上的落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離．（sin53°=0.8）

Answer 1

分析 （1）從A到B滑塊受重力和支持力，支持力不做功，只有重力做功，由機(jī)械能守恒求出滑塊到達(dá)B點(diǎn)時的速度．小滑塊在B點(diǎn)時所受軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動向心力，由牛頓運(yùn)動定律求解即可．
（2）由動能定理求出滑塊到達(dá)C點(diǎn)時的速度，再由平拋運(yùn)動的規(guī)律求解滑塊落地點(diǎn)到桌子邊緣D點(diǎn)的距離．
（3）假設(shè)滑塊剛好落在木板的底端，由平拋運(yùn)動的規(guī)律求出初速度，與C點(diǎn)的速度進(jìn)行比較分析滑塊能否落在木板．若能，再由平拋運(yùn)動分位移公式求解落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）滑塊從A到B的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
  mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²；
可得 v_B=$\sqrt{2gR}$
在B點(diǎn)，設(shè)軌道對滑塊支持力為F，則小滑塊在B點(diǎn)時所受軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動的向心力
 F-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
聯(lián)立得：F=3mg=30N
由牛頓第三定律，滑塊對軌道的壓力F′=F=30N
（2）從A到C，由動能定理得：
mgR-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$
解得：v_C=3m/s
滑塊離開C點(diǎn)后做平拋運(yùn)動，則有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
x=v_Ct
聯(lián)立解得：t=1s，x=3m
（3）假設(shè)滑塊剛好落到木板的底端時經(jīng)過C點(diǎn)的速度為v，則有：
 v=$\frac{hcot53°}{t}$=$\frac{5×0.75}{1}$=3.75m/s＞v_C=3m/s
所以滑塊能落在木板上．
設(shè)它第一次在木板上的落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為S．
則有：
  Scos53°=v_Ct
  Ssin53°=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得：tan53°=$\frac{gt}{2{v}_{C}}$，t=0.8s
S=$\frac{{v}_{C}t}{cos53°}$=$\frac{3×0.8}{0.6}$m=4m
答：（1）滑塊到達(dá)軌道最低點(diǎn)B時對軌道的壓力大小為30N；
（2）滑塊落地點(diǎn)到桌子邊緣D點(diǎn)的距離是3m．   
（3）滑塊能落在木板上，它第一次在木板上的落點(diǎn)到C點(diǎn)的距離為4m

點(diǎn)評 本題考查了圓周運(yùn)動和平拋運(yùn)動的綜合，知道平拋運(yùn)動在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動規(guī)律和圓周運(yùn)動向心力的來源是解決本題的關(guān)鍵．