Question

11．如圖所示，金屬板的右側存在兩種左右有理想邊界的勻強磁場，磁場的上邊界AE與下邊界BF間的距離足夠大．ABCD區(qū)域里磁場的方向垂直于紙面向里，CDEF區(qū)域里磁場的方向垂直于紙面向外，兩區(qū)域中磁感應強度的大小均為B，兩磁場區(qū)域的寬度相同．當加速電壓為某一值時，一電子由靜止開始，經電場加速后，以速度v₀垂直于磁場邊界AB進入勻強磁場，經t=$\frac{πm}{2eB}$的時間后，垂直于另一磁場邊界EF離開磁場．已知電子的質量為m，電荷量為e．求：
（1）每一磁場的寬度d；
（2）若要保證電子能夠從磁場右邊界EF穿出，加速度電壓U至少應大于多少？
（3）現撤去加速裝置，使ABCD區(qū)域的磁感應強度變?yōu)?B，使電子仍以速率v₀從磁場邊界AB射入，可改變射入時的方向（其它條件不變）．要使得電子穿過ABCD區(qū)域的時間最短時，求電子穿過兩區(qū)域的時間t．

Answer 1

分析 （1）電子在磁場中做勻速圓周運動，根據時間與周期的關系求得軌跡對應的圓心角，由洛侖茲力提供向心力得到軌跡半徑，再由幾何關系求解磁場的寬度d．
（2）電子恰好不從EF邊穿出磁場，其軌跡應和CD相切，得到半徑，求出速度大小，再由動能定理求加速電壓U．
（3）若要電子穿過ABCD區(qū)域的時間最短，則需要電子對稱地穿過ABCD區(qū)域，作圖軌跡，得到電子在兩區(qū)域的半徑關系，由軌跡的圓心角求解時間值．

解答 解：（1）電子在每一磁場中運動的時間為t₁=$\frac{t}{2}$=$\frac{πm}{4eB}$=$\frac{T}{8}$
故電子的在磁場中轉過$\frac{π}{4}$   

電子在磁場中運動時，洛侖茲力提供向心力，即evB=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$
由圖可知 d=rsin45°    
解得 d=$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2eB}$
（2）若電子恰好不從EF邊穿出磁場，電子應和CD相切，在ABCD區(qū)域中轉半圈后從AB邊離開磁場，設此時對應的電壓為U，電子進入磁場時的速度為v，則
 evB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
由幾何關系有 R=d
電子在加速電場中運動時，由動能定理有
 eU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得 U=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4e}$
（3）若要電子穿過ABCD區(qū)域的時間最短，則需要電子對稱地穿過ABCD區(qū)域，作圖   
電子在兩區(qū)域的半徑關系 r₂=2r₁=2$\frac{mv}{e•2B}$=$\frac{mv}{eB}$
由sinθ=$\fracjsyojrw{2{r}_{1}}$   
解得 θ=45°

第一段時間 t₁=$\frac{2θ}{2π}$T=$\frac{πm}{4eB}$
在區(qū)域CDEF中的圓心必在EF邊上（如圖內錯角）Φ=θ  
第二段時間 t₂=$\frac{Φ}{2π}$T′=$\frac{πm}{4eB}$
通過兩場的總時間t=t₁+t₂=$\frac{πm}{2eB}$
答：
（1）每一磁場的寬度d為$\frac{\sqrt{2}m{v}_{0}}{2eB}$；
（2）若要保證電子能夠從磁場右邊界EF穿出，加速度電壓U至少應大于$\frac{m{v}_{0}^{2}}{4e}$．
（3）電子穿過兩區(qū)域的時間為$\frac{πm}{2eB}$．

點評 帶電粒子在磁場中運動問題，關鍵要定圓心、定半徑，畫軌跡，運用幾何知識求軌跡半徑．對于時間常常根據軌跡的圓心角求解．