Question

6．地球赤道上的某城市N想實(shí)施-個(gè)“人造月亮”計(jì)劃，在地球同步衛(wèi)星上用一面平面鏡將太陽(yáng)光反射到地球上，使這座城市在午夜有“日出”時(shí)的效果．若此時(shí)的N城正是盛夏季節(jié)，地球的半徑為R，其自轉(zhuǎn)周期為T，地球表面重力加速度為g，太陽(yáng)在非常遙遠(yuǎn)的地方．求：
（1）地球同步衛(wèi)星離地心的距離；
（2）懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差；
（3）此時(shí)平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角．

Answer 1

分析 （1）在地球表面重力與萬(wàn)有引力相等，再根據(jù)萬(wàn)有引力提供同步衛(wèi)星的向心力求得同步衛(wèi)星的軌道半徑r即離地心的距離；
（2、3）根據(jù)反射定律及光線圖分析求解同步衛(wèi)星的居經(jīng)度與N城的經(jīng)度差，以及平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角．

解答 解：（1）令地球的質(zhì)量為M，同步衛(wèi)星的質(zhì)量為m，
在地球表面有$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$     ①
同步衛(wèi)星的軌道為r，有$G\frac{mM}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$     ②
由①②兩式可得r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
（2、3）過(guò)赤道平面的截面圖如圖所示，

水平入射光線MA經(jīng)反射后的反射光線AN與地球相切，故
∠MAN=90°
衛(wèi)星所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為OA，城市所在經(jīng)線在平面內(nèi)的投影為ON
所以$α=arccos\frac{R}{r}$
$θ=45°+arcsin\frac{R}{r}$
答：（1）地球同步衛(wèi)星離地心的距離為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$；
（2）懸掛平面鏡的同步衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的經(jīng)度與N城的經(jīng)度差為$arccos\frac{R}{r}$；
（3）此時(shí)平面鏡與衛(wèi)星所在經(jīng)度平面的夾角為$45°+arcsin\frac{R}{r}$．

點(diǎn)評(píng) 萬(wàn)有引力應(yīng)用主要從星球表面重力與萬(wàn)有引力相等和萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力入手，本題關(guān)鍵是作出光路圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．