Question

3．如圖所示，軌道ABO在同一豎直平面內(nèi)，由光滑水平軌道OB和傾角θ=30°、高度h=1m的傾斜軌道BA連接而成，OB與BA連接處是半徑很小的圓弧，水平軌道上一輕質(zhì)彈簧左端O固定在豎直的墻上，質(zhì)量m=0.5kg的小物塊從BA軌道上A點由靜止開始下滑．已知物塊與傾斜軌道間的動摩擦因數(shù)μ=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，重力加速度g=10m/s²，彈簧形變始終在彈性限度內(nèi)．求：
（1）物塊第一次在水平軌道上壓縮彈簧運動到速度為零時，彈簧具有的彈性勢能E_P；
（2）物塊在傾斜軌道上滑動的總路程s；
（3）物塊第n次壓縮彈簧后，沿傾斜軌道上升的最大高度h_n．

Answer 1

分析 （1）物體下滑的過程中克服摩擦力做功，壓縮彈簧的過程中將動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由功能關(guān)系即可求出；
（2）由于摩擦力做功，物塊最終靜止在水平軌道上，重力勢能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；
（3）用功能關(guān)系，依次求出物塊第1次、第2次、第3次…壓縮彈簧后，沿傾斜軌道上升的最大高度，由數(shù)學(xué)歸納法得出第n次壓縮彈簧后，沿傾斜軌道上升的最大高度h_n．

解答 解：（1）物體壓縮彈簧的過程中將動能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能，由功能關(guān)系有：
mgh=$μmgcosθ•\frac{h}{sinθ}+{E}_{P}$
代入數(shù)據(jù)得：E_P=2.5J
（2）由于摩擦力做功，物塊最終靜止在水平軌道上，且彈簧形變量為零，由動能定理有：
mgh-μmgcosθ=0
代入數(shù)據(jù)解得：s=4m
（3）設(shè)物塊第1、2、3…次壓縮彈簧后，沿傾斜軌道上升的最大高度分別為h₁、h₂、h₃…，則：
$mg（h-{h}_{1}）-μmg•\frac{h+{h}_{1}}{sinθ}=0$；$mg（{h}_{1}-{h}_{2}）-μmg•\frac{{h}_{1}+{h}_{2}}{sinθ}=0$；$mg（{h}_{2}-{h}_{3}）-μmg•\frac{{h}_{2}+{h}_{3}}{sinθ}=0$
將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入，依次快的：
${h}_{1}=\frac{1}{3}m$；${h}_{2}=（\frac{1}{3}）^{2}$m；${h}_{3}=（\frac{1}{3}）^{3}$m
則有：${h}_{n}=（\frac{1}{3}）^{n}$m
答：（1）物塊第一次在水平軌道上壓縮彈簧運動到速度為零時，彈簧具有的彈性勢能是2.5J；
（2）物塊在傾斜軌道上滑動的總路程是4m；
（3）物塊第n次壓縮彈簧后，沿傾斜軌道上升的最大高度是$（\frac{1}{3}）^{n}$m．

點評 該題中物體在運動的過程中，機械能逐漸轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，解答的難點是如何使用數(shù)學(xué)歸納法，得出物塊第n次壓縮彈簧后，沿傾斜軌道上升的最大高度的表達式．