Question

某個(gè)星球的半徑與地球半徑相等，質(zhì)量是地球質(zhì)量的4倍．在該星球表面有如圖所示的半徑為R的光滑圓形軌道固定在豎直面內(nèi)，質(zhì)量為m的小球A，以豎直向下的速度v從與圓心等高處開(kāi)始沿軌道向下運(yùn)動(dòng)，與靜止于軌道最低點(diǎn)的B球相撞，碰撞后A、B球恰能分別到達(dá)左右兩邊與圓心等高處．已知地球表面的重力加速度為g．試求：
（1）該星球表面重力加速度g₁；
（2）小球B的質(zhì)量M；
（3）第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A對(duì)軌道的壓力大�。�

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在星球表面萬(wàn)有引力等于重力可解出結(jié)果．
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒取出兩球碰撞前后速度，然后根據(jù)碰撞過(guò)程動(dòng)量守恒列方程求解即可．
（3）在最低根據(jù)向心力公式列出方程即可求解．

解答：解：（1）設(shè)地球質(zhì)量為m，半徑為r，星球的質(zhì)量為m₁，半徑為r₁，表面的重力加速度為g₁，根據(jù)

GM

r2

=mg有：

g1

g

=

m1r2

m r 2 1

，所以：g₁=4g．
故該星球表面重力加速度g₁=4g．   
（2）設(shè)小球在A在與B球相撞前速度的大小為v₁，根據(jù)機(jī)械能守恒：
mg1R+

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 1

得：v1=

8gR+v2

由于碰撞后A、B球都恰能達(dá)到與圓心等高處，所以第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A、B的速度大小相等，方向相反．設(shè)速度大小為v₂，根據(jù)機(jī)械能守恒：

1

2

m

v

2 2

=mg1R
所以有：
v2=

2g1R

=

8gR

設(shè)小球B的質(zhì)量為M，根據(jù)動(dòng)能守恒
mv₁=Mv₂-mv₂
解得：M=m(1+

1+ v2 8gR

)
故小球B的質(zhì)量為：M=m(1+

1+ v2 8gR

)．
（3）設(shè)第一次碰撞結(jié)束時(shí)小球A對(duì)軌道的壓力大小為F_N，軌道對(duì)小球A的支持力為

F

′ N

根據(jù)牛頓第三定律有：FN=

F

′ N

根據(jù)牛頓第二定律：

F

′ N

-mg1=m

v 2 2

R

解得：FN=

F

′ N

=12mg
故第一次碰撞剛結(jié)束時(shí)小球A對(duì)軌道的壓力大小為12mg．

點(diǎn)評(píng)：本題涉及知識(shí)點(diǎn)比較全面，全方位的考查了學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的掌握情況，在平時(shí)練習(xí)中要加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練．