Question

19．如圖所示，在豎直平面內(nèi)有半徑為R和2R的兩個圓，兩圓的最高點相切，切點為A，B和C分別是小圓和大圓上的兩個點，其中AB長為$\sqrt{2}$R，AC長為2$\sqrt{2}$R．現(xiàn)沿AB和AC建立兩條光滑軌道，自A處由靜止釋放小球，已知小球沿AB軌道運動到B點所用時間為t₁，沿AC軌道運動到C點所用時間為t₂，求t₁、t₂的值（已知重力加速度為g）．

Answer 1

分析 設AB和AC間的夾角為θ，根據(jù)幾何關系求出cosθ，小球沿ab做勻加速直線運動，根據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再根據(jù)勻變速直線運動位移時間公式求出時間．

解答 解：設AB與豎直方向的夾角為θ，則：AB=2Rcosθ                          
由牛頓第二定律得物體沿AB下滑的加速度為：a=gcosθ       
解得在AB上運動的時間為：t₁=$\sqrt{\frac{2\overline{AB}}{a}}$=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$
同理設AB與豎直方向的夾角為α，則：AC=4Rcosα
由牛頓第二定律得物體沿AC下滑的加速度為：a=gcosα
可知物體在AC上運動的時間為：t₂=$\sqrt{\frac{2\overline{AC}}{a}}$=$\sqrt{\frac{8R}{g}}$
答：小球沿AB軌道運動到B點所用時間為2$\sqrt{\frac{R}{g}}$，沿AC軌道運動到C點所用時間為$\sqrt{\frac{8R}{g}}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，解題時要分析清楚小球的運動情況，并能結合幾何關系求解，難度適中．