Question

15．2013年6月11日，我國(guó)神舟十號(hào)載人飛船成功發(fā)射．飛船變軌后在距地面的高度h沿圓形軌道環(huán)繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行周期為T(mén)，已知地球半徑為R，引力常量為G．求：
（1）求地球質(zhì)量；
（2）求地球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球?qū)︼w船的萬(wàn)有引力提供飛船的向心力，知道飛船繞地球圓周運(yùn)動(dòng)的周期T、軌道半徑R+h，即可求出地球的質(zhì)量．
利用圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，由周期和半徑，能求出地球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）設(shè)地球的質(zhì)量為M，根據(jù)牛頓第二定律有：
$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$（R+h）
解得：M=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{R{T}^{2}}}$
答：（1）地球的質(zhì)量$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{G{T}^{2}}$；
（2）地球的第一宇宙速度$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{R{T}^{2}}}$．

點(diǎn)評(píng) 解決飛船、人造地球衛(wèi)星類(lèi)型的問(wèn)題常常建立這樣的模型：衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，地球?qū)πl(wèi)星的萬(wàn)有引力提供衛(wèi)星所需要的向心力．常常是萬(wàn)有引力定律與圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)的綜合應(yīng)用．