Question

要發(fā)射一顆人造地球衛(wèi)星，使它在半徑為r₂的預(yù)定軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，為此先將衛(wèi)星發(fā)射到半徑為r₁的近地暫行軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．如圖所示，在A點(diǎn)，使衛(wèi)星速度增加，從而使衛(wèi)星進(jìn)入一個(gè)橢圓的轉(zhuǎn)移軌道上，當(dāng)衛(wèi)星到達(dá)轉(zhuǎn)移軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)B時(shí)，再次改變衛(wèi)星速度，使它進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行，試求衛(wèi)星從A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間．已知地球表面的重力加速度大小為g，地球的半徑為R．

Answer 1

分析：根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，由半徑為r₁與半徑為r₂可求出橢圓軌道的周期，從而確定衛(wèi)星從A點(diǎn)到B點(diǎn)所需的時(shí)間為t．

解答：解：衛(wèi)星在軌道r₁時(shí)，萬(wàn)有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力：G

mM

r 2 1

=mr1

4π2

T2

     ①
因?yàn)槲矬wm'在地球表面有重力等于萬(wàn)有引力：G

mM

R2

=mg，
可得：GM=gR² ②
由①②可得：T1=

2πr1

R

r1 g

       ③
當(dāng)衛(wèi)星在橢圓軌道運(yùn)行：其半長(zhǎng)軸為：r3=

r1+r2

2

      ④
依開(kāi)普勒第三定律：

r 3 1

T12

=

r 3 3

T32

得：
T3=T1

r 3 3 r 3 1

代入③④得：T3=

π(r1+r2)

R

r1+r2 2g

故衛(wèi)星從A到B的時(shí)間tAB=

1

2

T3=

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

答：衛(wèi)星從A到B的時(shí)間為

π(r1+r2)

2R

r1+r2 2g

．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力兩知識(shí)點(diǎn)，以及會(huì)用開(kāi)普勒第三定律解題．