Question

假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的球體．一礦井深度為d．已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零．礦井底部和地面處的重力加速度大小之比為（　　）

A．1- d R

B．1+ d R

C．( R-d R )2

D．( R R-d )2

Answer 1

令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=G

M

R2

，由于地球的質量為：M=ρ

4

3

πR3，所以重力加速度的表面式可寫成：
g=

GM

R2

=G

ρ 4 3 πR3

R2

=

4

3

GρπR．
根據題意有，質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產生的萬有引力，故井底的重力加速度g′=

4

3

Gρπ(R-d)
所以有

g′

g

=

4 3 Gρπ(R-d)

4 3 GρπR

=

R-d

R

=1-

d

R

故選A．