Question

9．如圖甲，ABC為豎直放置的半徑為0.1m的半圓形軌道，質(zhì)量為0.1kg的小球，以不同的初速度v沖入ABC軌道，小球在軌道的最低點(diǎn)A和最高點(diǎn)C對(duì)軌道的壓力分別為F_A和F_C，g取10m/s²．求：
（1）當(dāng)F_A=13N時(shí)，小球恰好能沿軌道到最高點(diǎn)C，求小球滑經(jīng)A點(diǎn)時(shí)的速度，以及小球由A滑至C的過(guò)程中損失的機(jī)械能；
（2）若軌道ABC光滑，小球均能通過(guò)C點(diǎn)．試推導(dǎo)F_C隨F_A變化的關(guān)系式，并在圖以中畫出其圖線．

Answer 1

分析 （1）由牛頓第三定律：小球在A、C兩點(diǎn)所受軌道的彈力大小與小球?qū)︓壍赖膲毫Υ笮∠嗟龋∏蚪?jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)時(shí)，由重力和軌道對(duì)小球的支持力的合力提供向心力，由牛頓第二定律求出小球經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的速度大小，根據(jù)動(dòng)能定理求出從A到C的過(guò)程中摩擦力做功，小球損失的機(jī)械能等于克服摩擦力做功．
（2）若軌道ABC光滑，小球由A至C的過(guò)程中機(jī)械能守恒，可列出小球經(jīng)過(guò)AC兩點(diǎn)的速度關(guān)系，再由牛頓第二定律得到F_C隨F_A變化的關(guān)系式，畫出圖線．

解答 解：（1）由牛頓第三定律可知，小球在A、C兩點(diǎn)所受軌道的彈力大小N_A=F_A，N_C=F_C
在A點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${N_A}-mg=\frac{mv_A^2}{R}$…①
解得${v_A}=2\sqrt{3}m/s$…②
在C點(diǎn)，由牛頓第二定律得：${N_C}+mg=\frac{mv_C^2}{R}$…③
對(duì)A至C的過(guò)程，由動(dòng)能定理得：${W_f}-mg•2R=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_A^2$…④
①②③聯(lián)立得${W_f}=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_A^2+2mgR=\frac{1}{2}（2mg-{F_A}+{F_C}）R+2mgR$…⑤
解得：W_f=-0.2J…⑥
故由功能關(guān)系得，損失的機(jī)械能為0.2J
（2）因軌道光滑，小球由A至C的過(guò)程中機(jī)械能守恒，則有：
$\frac{1}{2}mv_A^2=\frac{1}{2}mv_C^2+mg•2R$…⑦
聯(lián)立①③⑥得：N_A-N_C=6mg
即：F_C=F_A-6N…⑧
圖線如右圖所示…⑨
答：（1）當(dāng)F_A=13N時(shí)小球滑經(jīng)A點(diǎn)時(shí)的速度v_A為2$\sqrt{3}$m/s，小球由A滑至C的過(guò)程中損失的機(jī)械能是0.2J；
（2）F_C隨F_A變化的關(guān)系式為F_C=F_A-6N，在圖丙中畫出其圖線如圖所示．

點(diǎn)評(píng) 在圓周運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)問(wèn)題中，向心力知識(shí)往往與動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒綜合，抓住速度是聯(lián)系它們之間的紐帶．