Question

如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P，其質量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2C．將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20m/s豎直向下射出小球P，小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小V=15m/s．若O、O₁相距R=1.5m，小球P在O₁點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰．碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的弱強磁場．此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5m的圓周運動．小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10m/s²．那么，
（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？
（2）請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度．
（3）若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式（要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角）．

Answer 1

分析：（1）對小球從水平位置到O₁點的運動過程運用動能定理即可求得彈簧彈力做功；
（2）速度相同，包括大小相等，方向相同．由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，在洛倫茲力作用下做圓周運動，可根據(jù)碰撞時的動量守恒，求出N的速度，假設他們的速度相同，分別計算時間，看看時間能否相等，同時要注意分情況討論，因為磁場的方向沒有說明；
（3）因為磁場方向沒有說明，所以同樣要分情況討論，設經(jīng)過t時間他們速度相同，應用（2）中的方程，聯(lián)立方程解出r，同時要注意圓周運動的周期性．

解答：解：（1）設彈簧的彈力做功為W，有：mgR+W=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

①
                 代入數(shù)據(jù)，得：W=-2.05J　　　　　　　　　　�、�
   （2）由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷．設P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，
        并令水平向右為正方向，有：mv=±m(xù)v₁+MV③
       而：v1=

Bqr

m

④
       若P、N碰后速度同向時，計算可得V＜v₁，這種碰撞不能實現(xiàn)．P、N碰后瞬時必為反向運動．有：V=

mv+Bqr

M

⑤
       P、N速度相同時，N經(jīng)過的時間為t_N，P經(jīng)過的時間為t_P．設此時N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為θ，
             有：cosθ=

V

V1

=

V

v1

⑥
                 gt_N=V₁sinθ=v₁sinθ⑦
              代入數(shù)據(jù)，得：tN=

3

4

s⑧
      對小球P，其圓周運動的周期為T，有：T=

2πm

Bq

⑨
      經(jīng)計算得：t_N＜T，
     P經(jīng)過t_P時，對應的圓心角為α，有：tP=

α

2π

T⑩
     當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：α₁=π+θ
           聯(lián)立相關方程得：tP1=

2π

15

s
     比較得，t_N≠t_P1，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同．
     當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有：a₂=π-θ，
      同上得：tP2=

π

15

，
     比較得，t_N≠t_p2，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同．
    （3）當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同，t_N=t_P=t，
    再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)
    當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同t_N=t_P=t，
    同理得：r=

(π-θ)m2g

B2q2sinθ

，
    考慮圓周運動的周期性，有：r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．
答：（1）彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為-2.05J；（2）小球P、N碰撞后不能在某一時刻具有相同的速度；（3）r=

[(2n+1)π+θ]m2g

B2q2sinθ

(n=0，1，2…)（給定的B、q、r、m、θ等物理量決定n的取值）．

點評：該題考查了帶電粒子在電場、磁場中的運動，涉及到平拋運動和圓周運動的相關知識，速度相同包括大小相等和方向相同，并且要討論磁場的方向，難度特別大，屬于難題．