Question

3．某行星自轉(zhuǎn)周期為T，赤道半徑為R，研究發(fā)現(xiàn)，若該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉淼膬杀�，�?huì)導(dǎo)致該行星赤道上物體將恰好對(duì)行星表面沒有壓力，已知萬有引力常量為G，則以下說法中正確的是（　�。�

• A． 該行星質(zhì)量為M=$\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}}}$
• B． 該行星的同步衛(wèi)星軌道半徑為r=$\root{3}{4}$R
• C． 靜置在該行星赤道地面上質(zhì)量為m的物體對(duì)地面的壓力為$\frac{{16m{π^2}R}}{T^2}$
• D． 環(huán)繞該行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星線速度必不大于7.9 km/s

Answer 1

分析 由“該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉韮杀秾��?dǎo)致該星球赤道上物體將恰好對(duì)行星表面沒有壓力”可知此時(shí)重力充當(dāng)向心力，赤道上的物體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，據(jù)此可得該星球的質(zhì)量．同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力提供向心力的周期表達(dá)式可得同步衛(wèi)星的軌道半徑．行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，進(jìn)而可知壓力大�。�7.9km/s是地球的第一宇宙速度．

解答 解：A、該行星自轉(zhuǎn)角速度變?yōu)樵瓉韮杀�，則周期將變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$，即為$\frac{1}{2}$T，由題意可知此時(shí)：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR（\frac{2π}{\frac{1}{2}T}）^{2}$，解得：$M=\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A錯(cuò)誤；
B、同步衛(wèi)星的周期等于該星球的自轉(zhuǎn)周期，由萬有引力提供向心力可得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，又：$M=\frac{16{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，解得：r=$\root{3}{4}$R，故B正確；
C、行星地面物體的重力和支持力的合力提供向心力：$mg-{F}_{N}′=mR（\frac{2π}{\frac{1}{2}T}）^{2}$，又：mg=$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，解得：${F}_{N}′=\frac{12m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，由牛頓第三定律可知質(zhì)量為m的物體對(duì)行星赤道地面的壓力為${F}_{N}=\frac{12m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故C錯(cuò)誤；
D、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，由于不知道該星球的質(zhì)量以及半徑與地球質(zhì)量和半徑的關(guān)系，故無法得到該星球的第一宇宙速度與地球第一宇宙速度的關(guān)系，故無法確環(huán)繞該行星作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星線速度是不是必不大于7.9km/s，故D錯(cuò)誤．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 行星自轉(zhuǎn)的時(shí)候，地面物體萬有引力等于重力沒錯(cuò)，但是不是重力全部用來提供向心力，而是重力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物體恰好對(duì)行星表面沒有壓力”時(shí)重力獨(dú)自充當(dāng)向心力．