Question

A、B兩行星在同一平面內(nèi)繞同一恒星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行方向相同，A的軌道半徑為r_l，B的軌道半徑為r₂．已知恒星質(zhì)量為M，恒星對(duì)行星的引力遠(yuǎn)大于行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁＜r₂．若在某時(shí)刻兩行星相距最近，試求：
（1）再經(jīng)過多少時(shí)間兩行星距離又最近？
（2）再經(jīng)過多少時(shí)間兩行星距離又最遠(yuǎn)？

Answer 1

分析：（1）A、B兩行星距離最近時(shí)A、B與恒星在同一條圓半徑上．根據(jù)恒星對(duì)行星的萬有引力提供向心力列式，得到行星角速度的表達(dá)式．根據(jù)A、B距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…），求出時(shí)間．
（2）A、B相距最遠(yuǎn)的條件是：ω₁t′-ω₂t'=（2k-1）π（k=1，2，3…），可求出時(shí)間．

解答：解：（1）A、B兩行星距離最近時(shí)A、B與恒星在同一條圓半徑上．  A、B運(yùn)動(dòng)方向相同，A更靠近恒星，A的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度大、周期短．如果經(jīng)過時(shí)間t，A、B與恒星連線半徑轉(zhuǎn)過的角度相差2π的整數(shù)倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近．
設(shè)A、B的角速度分別為ω₁，ω₂，經(jīng)過時(shí)間t，A轉(zhuǎn)過的角速度為ω₁t，B轉(zhuǎn)過的角度為ω₂t．A、B距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…）
恒星對(duì)行星的引力提供向心力，則：

GMm

r2

=mrω2，ω=

GM r13

由此得出：ω1=

GM r13

，ω2=

GM r23

，
求得：t=

2πn

GM r13 - GM r23

(n=1，2，3…)
（2）如果經(jīng)過時(shí)間tˊ，A、B轉(zhuǎn)過的角度相差π的奇數(shù)倍時(shí)，則A、B相距最遠(yuǎn)，
即：ω₁t′-ω₂t'=（2k-1）π（k=1，2，3…），得：t′=

(2k-1)π

ω1-ω2

把ω₁、ω₂代入得：t′=

(2k-1)π

GM r13 - GM r23

(k=1，2，3…)
答：
（1）再經(jīng)過時(shí)間

2πn

GM r 3 1 - GM r 3 2

（n=1，2，3，…）時(shí)兩行星距離又最近．
（2）再經(jīng)過時(shí)間

(2k-1)π

GM r 3 1 - GM r 3 2

（k=1，2，3，…）時(shí)兩行星距離又最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題根據(jù)處理衛(wèi)星問題的基本思路：萬有引力等于向心力的基礎(chǔ)上，抓住圓周運(yùn)動(dòng)的周期性，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)求解時(shí)間．