Question

【題目】如圖所示，真空中有一個(gè)半徑r=0.5m的圓形磁場區(qū)域，與坐標(biāo)原點(diǎn)O相切，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=2×10－4T，方向垂直于紙面向外，在x=1m處的豎直線的右側(cè)有一水平放置的正對平行金屬板M、N，板間距離為d=0.5 m，板長L=1m，平行板的中線的延長線恰好過磁場圓的圓心O1。若在O點(diǎn)處有一粒子源，能向磁場中不同方向源源不斷的均勻發(fā)射出速率相同的比荷為=1×108C/kg，且?guī)д�電的粒子，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡在紙面內(nèi)，一個(gè)速度方向沿y軸正方向射入磁場的粒子，恰能從沿直線O2O3方向射入平行板間。不計(jì)重力及阻力和粒子間的相互作用力，求：

（1）沿y軸正方向射入的粒子進(jìn)入平行板間時(shí)的速度v和粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t0；

（2）從M、N板左端射入平行板間的粒子數(shù)與從O點(diǎn)射入磁場的粒子數(shù)之比；

（3）若在平行板的左端裝上一擋板（圖中未畫出，擋板正中間有一小孔，恰能讓單個(gè)粒子通過），并且在兩板間加上如圖示電壓（周期T0），N板比M板電勢高時(shí)電壓值為正，在x軸上沿x軸方向安裝有一足夠長的熒光屏（圖中未畫出），求熒光屏上亮線的左端點(diǎn)的坐標(biāo)和亮線的長度l。

Answer 1

【答案】（1）1×104 m/s，7.85×10－5 s；（2）；（3）（m，0），亮線長為m。

【解析】

（1）由題意可知，沿y軸正向射入的粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖示

則粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑必定為

R=r=0.5m

根據(jù)洛倫茲力提供向心力有

Bqv=

代入數(shù)據(jù)解得粒子進(jìn)入電場時(shí)的速度為

v=1×104m/s

在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

t0=T==7.85×10－5 s

（2）如圖示沿某一方向入射的粒子的運(yùn)動(dòng)圓軌跡和磁場圓的交點(diǎn)O、P以及兩圓的圓心O1、O4組成菱形，故PO4和y軸平行，所以v和x軸平行向右，即所有粒子平行向右出射。故恰能從M端射入平行板間的粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示

因?yàn)?/span>M板的延長線過O1O的中點(diǎn)，故由圖示幾何關(guān)系可知，則入射速度與y軸間的夾角為

同理可得恰能從N端射入平行板間的粒子其速度與y軸間的夾角也為，如圖所示

由圖示可知，在y軸正向夾角左右都為的范圍內(nèi)的粒子都能射入平行板間，故從M、N板左端射入平行板間的粒子數(shù)與從O點(diǎn)射入磁場的粒子數(shù)之比為

（3）根據(jù)U-t圖可知，粒子進(jìn)入板間后沿y軸方向的加速度大小為

所有粒子在平行板間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為

即粒子在平行板間運(yùn)行的時(shí)間等于電場變化的周期T0，則當(dāng)粒子由t=nT0時(shí)刻進(jìn)入平行板間時(shí)，向下側(cè)移最大，則有

y1=＋a－=0.175m

當(dāng)粒子由t=nT0＋時(shí)刻進(jìn)入平行板間時(shí)，向上側(cè)移最大，則

y2==0.025m

因?yàn)?/span>y1、y2都小于=0.25m，故所有射入平行板間的粒子都能從平行板間射出，根據(jù)動(dòng)量定理可得所有出射粒子的在y軸負(fù)方向的速度為

解得

vy=1.5×103 m/s

設(shè)速度vy方向與v的夾角為θ，則

tanθ=

如圖所示

從平行板間出射的粒子處于圖示范圍之內(nèi)，則

tan θ=

tan θ=

代入數(shù)據(jù)解得

，

亮線左端點(diǎn)距離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

x左=

即亮線左端點(diǎn)的位置坐標(biāo)為（m，0），亮線長為m