Question

12．宇宙中兩顆相距較近的天體稱(chēng)為“雙星”，它們以二者連線(xiàn)上的某一點(diǎn)為圓心做勻速圓周運(yùn)動(dòng)而不至因萬(wàn)有引力的作用吸引到一起．設(shè)雙星的質(zhì)量分別為m₁和m₂，兩者相距L，求：
（1）它們的線(xiàn)速度大小之比．
（2）試寫(xiě)出它們角速度的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）雙星靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，抓住角速度相等，向心力相等求出軌道半徑之比；結(jié)合線(xiàn)速度與角速度的關(guān)系求出線(xiàn)速度之比．
（2）萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以求出角速度．

解答 解：（1）雙星做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度ω相等，萬(wàn)有引力提供向心力，由牛頓第二定律得：
G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₁ω²R₁…①G$\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{L}^{2}}$=m₂ω²R₂…②
兩星球半徑之和等于兩星間的距離：R₁+R₂=L，
解得：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}$，即它們的線(xiàn)速度之比等于質(zhì)量的反比；
（2）由①式得：ω²=G$\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}{R}_{1}}$=G$\frac{{m}_{2}}{{L}^{2}（L-{R}_{2}）}$…③
由②式得：R₂=G$\frac{{m}_{1}}{{L}^{2}{ω}^{2}}$…④
④式代入③式得：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$；
答：（1）它們的線(xiàn)速度大小之比為：m₂：m₁．
（2）它們角速度的表達(dá)式為：ω=$\sqrt{\frac{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}{{L}^{3}}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵掌握雙星模型系統(tǒng)，知道它們靠相互間的萬(wàn)有引力提供向心力，向心力的大小相等，角速度的大小相等．