Question

為滿(mǎn)足不同列車(chē)間車(chē)廂進(jìn)行重新組合的需要，通常需要將相關(guān)的列車(chē)通過(guò)“駝峰”送入編組場(chǎng)后進(jìn)行重組（如圖所示），重組后的車(chē)廂同一組的分布在同一軌道上，但需要掛接在一起．現(xiàn)有一列火車(chē)共有n節(jié)車(chē)廂，需要在編好組的“駝峰”左側(cè)逐一撞接在一起．已知各車(chē)廂之間間隙均為s₀，每節(jié)車(chē)廂的質(zhì)量都相等，現(xiàn)有質(zhì)量與車(chē)廂質(zhì)量相等、且沒(méi)有動(dòng)力驅(qū)動(dòng)的機(jī)車(chē)經(jīng)過(guò)“駝峰”以速度v₀向第一節(jié)車(chē)廂運(yùn)動(dòng)，碰撞后通過(guò)“詹天佑掛鉤”連接在一起，再共同去撞擊第二節(jié)車(chē)廂，直到n節(jié)全部掛好．不計(jì)車(chē)廂在掛接中所受到的阻力及碰撞過(guò)程所需的時(shí)間，求：
（1）這列火車(chē)的掛接結(jié)束時(shí)速度的大��；
（2）機(jī)車(chē)帶動(dòng)第一節(jié)車(chē)廂完成整個(gè)撞接過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間．
（3）這列火車(chē)完成所有車(chē)廂掛接后，機(jī)車(chē)立即開(kāi)啟動(dòng)力驅(qū)動(dòng)，功率恒為P，在行駛中的阻力f恒定，經(jīng)歷時(shí)間t達(dá)到最大速度，求機(jī)車(chē)此過(guò)程的位移．

Answer 1

（1）在車(chē)廂連接的過(guò)程中，不計(jì)車(chē)廂在掛接中所受到的阻力，動(dòng)量守恒，整個(gè)掛接過(guò)程中根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=（n+1）mv
解得：v=

v0

n+1

（2）與第1節(jié)車(chē)廂掛接時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
mv₀=2mv₁
解得：v1=

v0

2

則機(jī)車(chē)帶動(dòng)第一節(jié)車(chē)廂運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t1=

s0

v1

=

2s0

v0

，
同理與第2節(jié)車(chē)廂掛接時(shí)，根據(jù)動(dòng)量守恒定律得：
2mv₁=3mv₂
解得：v2=

v0

3

則機(jī)車(chē)帶動(dòng)第一、二節(jié)車(chē)廂運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t2=

s0

v2

=

3s0

v0

…
同理可知機(jī)車(chē)帶動(dòng)n-1節(jié)車(chē)廂運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為tn-1=

s0

vn-1

=

ns0

v0

則總時(shí)間t=t₁+t₂+…+t_n-1=

(2+3+4+…+n)s0

v0

=

(n+2)(n-1)s0

2v0

（3）當(dāng)牽引力等于阻力時(shí)，速度最大，則vm=

P

f

，
機(jī)車(chē)開(kāi)始啟動(dòng)到最大速度的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理得：

1

2

mvm2-

1

2

mv2=Pt-fx
解得：x=

Pt+ 1 2 m v02 (n+1)2 - 1 2 m P2 f2

f

答：（1）這列火車(chē)的掛接結(jié)束時(shí)速度的大小為

v0

n+1

；
（2）機(jī)車(chē)帶動(dòng)第一節(jié)車(chē)廂完成整個(gè)撞接過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間為

(n+2)(n-1)s0

2v0

．
（3）機(jī)車(chē)此過(guò)程的位移為

Pt+ 1 2 m v02 (n+1)2 - 1 2 m P2 f2

f

．