Question

4．如圖所示，電阻不計(jì)的兩光滑金屬導(dǎo)軌放在水平絕緣桌面上，半徑為R的$\frac{1}{4}$圓弧部分處在豎直平面內(nèi)，水平直導(dǎo)軌部分處在方向豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，末端與桌面邊緣平齊．兩金屬棒ab、cd垂直于兩導(dǎo)軌且與導(dǎo)軌接觸良好．棒ab質(zhì)量為2m，棒cd的質(zhì)量為m．重力加速度為g．
開始棒cd靜止在水平直導(dǎo)軌上，棒ab從圓弧頂端無(wú)初速度釋放，進(jìn)入水平直導(dǎo)軌后與棒cd始終沒有接觸并一直向右運(yùn)動(dòng)，最后兩棒都離開導(dǎo)軌落到地面上．棒ab與棒cd落地點(diǎn)到桌面邊緣的水平距離之比為1：3．求：

①棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大��；
②兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）ab棒下滑的過程中機(jī)械能守恒，可求得剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度．棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和水平位移之比求解．兩棒都在軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的合外力為零，遵守動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律列式，聯(lián)立即可求解．
（2）ab棒與cd棒在水平導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)能量定恒求解兩棒在軌道上運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）ab棒剛進(jìn)入水平導(dǎo)軌時(shí)，cd棒受到的安培力最大，此時(shí)它的加速度最大．
設(shè)ab棒進(jìn)入水平導(dǎo)軌的速度為v₁，ab棒從圓弧導(dǎo)軌滑下機(jī)械能守恒：
 2mgR=$\frac{1}{2}$×2mv₁²
解得：v₁=$\sqrt{2gR}$ 
離開導(dǎo)軌時(shí)，設(shè)ab棒的速度為v₁′，cd棒的速度為v₂′．
由h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$知兩棒離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，由平拋運(yùn)動(dòng)水平位移x=v₀t可知
   v₁′：v₂′=x₁：x₂=1：3
即 v₂′=3v₁′
根據(jù)動(dòng)量守恒得：
 2mv₁=2mv₁′+mv₂′
聯(lián)立解得 v₁′=$\frac{2}{7}\sqrt{2gR}$，v₂′=$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$
（2）根據(jù)能量守恒，兩棒在軌道上運(yùn)動(dòng)過程產(chǎn)生的焦耳熱為
  Q=$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{2}$-（$\frac{1}{2}×2m{v}_{1}^{′2}$+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{′2}$）
聯(lián)立解得，Q=$\frac{22}{49}$mgR
答：
（1）棒ab和棒cd離開導(dǎo)軌時(shí)的速度大小分別是$\frac{2}{7}\sqrt{2gR}$、$\frac{6}{7}\sqrt{2gR}$．
（2）兩棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)過程中產(chǎn)生的焦耳熱是$\frac{22}{49}$mgR．

點(diǎn)評(píng) 本題是雙桿問題，與非彈性碰撞問題類似，根據(jù)機(jī)械能守恒定律、動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律，并結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)進(jìn)行處理．要有分析和處理綜合題的能力．