Question

20．在某次霧霾天氣下某高速公路同一直線車道上有同向勻速行駛的轎車和貨車，其速度大小分別為v₁=108km/h，v₂=54km/h，轎車在與貨車距離s₀=40m時(shí)才發(fā)現(xiàn)前方有貨車，若此時(shí)轎車立即剎車，則轎車要經(jīng)過s=180m才停下來．兩車可視為質(zhì)點(diǎn)．
（1）求轎車剎車后的加速度a₁
（2）若轎車剎車時(shí)貨車以v₂勻速行駛，請判斷兩車是否相撞？若會(huì)相撞，將在轎車剎車后何時(shí)相撞？若不會(huì)相撞，則兩車最近距離x是多少？
（3）若轎車在剎車的同時(shí)給貨車發(fā)信號，貨車司機(jī)經(jīng)t₀=2s收到信號后立即加速前進(jìn)，則貨車的加速度a₂至少多大才能避免與轎車相撞？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度位移公式求出轎車剎車后的加速度．
（2）根據(jù)速度時(shí)間公式求出兩車速度相等經(jīng)歷的時(shí)間，根據(jù)位移公式求出兩者的位移，通過位移關(guān)系判斷是否相撞，若不相撞，速度相等時(shí)有最近距離．
（3）根據(jù)位移公式和速度公式求出貨車接到信號后兩車的距離，以及轎車的速度，抓住速度相等時(shí)，恰好不相撞，結(jié)合速度公式和位移公式進(jìn)行求解．

解答 解：（1）108km/h=30m/s，54km/h=15m/s，
轎車剎車后的加速度為：
${a}_{1}=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2s}=\frac{900}{360}m/{s}^{2}=2.5m/{s}^{2}$．
（2）當(dāng)兩車的速度相同時(shí)，用時(shí)為：
${t}_{1}=\frac{{v}_{1}-{v}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{30-15}{2.5}s=6s$，
轎車比貨車多運(yùn)動(dòng)的位移為：
${x}_{1}=\frac{{v}_{1}+{v}_{2}}{2}{t}_{1}-{v}_{2}{t}_{1}$=$\frac{30+15}{2}×6-15×6$m=45m，
因?yàn)閤₁＞s₀，所以兩車會(huì)相撞．
設(shè)在轎車剎車后經(jīng)過時(shí)間t₂相撞，則有位移之差為：
$△x={v}_{1}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{2}}^{2}-{v}_{2}{t}_{2}$=40m
解代入數(shù)據(jù)得t₂=4s 或 7s（不合題意，舍去） 
（3）經(jīng)過時(shí)間t₀=2 s 兩車的距離為：${x}_{3}={s}_{0}-（{v}_{1}{t}_{0}-\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{0}}^{2}-{v}_{2}{t}_{0}）$，
代入數(shù)據(jù)解得：x₃=15m，
轎車的速度為：v₃=v₁-a₁t₀=30-2.5×2m/s=25m/s，
當(dāng)兩車的速度達(dá)到相同時(shí)，恰好到達(dá)同一位置，此時(shí)貨車的加速度最小，有：
${x}_{3}=\frac{{{v}_{3}}^{2}-{{v}_{共}}^{2}}{2{a}_{1}}-\frac{{{v}_{共}}^{2}-{{v}_{2}}^{2}}{2{a}_{2}}$，
又 $\frac{{v}_{3}-{v}_{共}}{{a}_{1}}=\frac{{v}_{共}-{v}_{2}}{{a}_{2}}$，
聯(lián)立解得：${a}_{2}=\frac{5}{6}m/{s}^{2}$．
所以貨車的加速度至少為$\frac{5}{6}m/{s}^{2}$才能避免相撞．
答：（1）轎車剎車后的加速度為-2.5m/s²．
（2）兩車會(huì)相撞，剎車后經(jīng)過4s相撞．
（3）貨車的加速度至少為$\frac{5}{6}m/{s}^{2}$才能避免相撞．

點(diǎn)評 本題考查了運(yùn)動(dòng)學(xué)中的追及問題，關(guān)鍵抓住臨界狀態(tài)，即速度相等時(shí)，恰好不相撞，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式靈活求解，難度中等．