Question

17．已知一單擺在地面處的擺動周期為T₀，設(shè)地球的半徑為R，假定地球的密度均勻，已知質(zhì)量均勻分布的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，求該單擺在深度為d的礦井底部的擺動周期．

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，礦井深度為d的井底的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其表面產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達式，從而得出重力加速度之比，根據(jù)周期公式得出周期之比，求出單擺在深度為d的礦井底部的擺動周期．

解答 解：令地球的密度為ρ，則在地球表面，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，由于地球的質(zhì)量為：M=$ρ\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以重力加速度的表達式可寫成：
g=$\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{Gρ\frac{4}{3}π{R}^{3}}{{R}^{2}}=\frac{4}{3}GρπR$
根據(jù)題意有，質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，固在深度為d的井底，受到地球的萬有引力即為半徑等于（R-d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故井底的重力加速度g′=$\frac{4}{3}Gρπ（R-d）$
所以$\frac{g′}{g}=\frac{R-d}{R}$．
根據(jù)T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{L}{g}}$知，$\frac{T′}{{T}_{0}}=\sqrt{\frac{g}{g′}}=\sqrt{\frac{R}{R-d}}$，
所以$T′=\sqrt{\frac{R}{R-d}}{T}_{0}$．
答：單擺在深度為d的礦井底部的擺動周期為$\sqrt{\frac{R}{R-d}}{T}_{0}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵得出重力加速度之比，從而通過周期公式進行求解，難度中等．