Question

8．如圖所示，為一傳送裝置示意圖，已知平直段AB長(zhǎng)度為s=20m，傳送帶與水平方向夾角θ=37°，皮帶輪的半徑r=$\frac{1}{π}$m，角速度ω=10πrad/s，皮帶與輪子間不打滑，將一個(gè)質(zhì)量為m=0.5kg的煤塊輕放到傳送帶的上端A點(diǎn)，煤塊與傳送帶間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.5．求：
（1）物體剛放上傳送帶時(shí)的加速度；
（2）煤塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為多長(zhǎng)；
（3）當(dāng)煤塊從B端脫離傳送帶時(shí)，在傳送帶上留下的煤炭劃痕有多長(zhǎng)；
（4）若傳送帶仍逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，調(diào)整皮帶輪的角速度，使煤塊在上述過(guò)程中在傳送帶上留下的劃痕最長(zhǎng)，則皮帶輪的角速度至少為多少？

Answer 1

分析 （1）（2）當(dāng)物體的速度小于傳送帶的速度時(shí)，向下加速運(yùn)動(dòng)，由于重力沿斜面的分力大于摩擦力，故當(dāng)達(dá)到共同速度后物體在傳送帶上繼續(xù)做加速運(yùn)動(dòng)，利用牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式及可求得時(shí)間；
（3）求出兩個(gè)加速階段物體與傳送帶的位移即可求得痕跡長(zhǎng)度；
（4）當(dāng)傳送帶剛好運(yùn)動(dòng)一周時(shí)物塊下滑到斜面底端，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)公式即可求的最小速度．

解答 解：（1）設(shè)物體的加速度大小為a₁，由牛頓第二定律得
mgsin 37°+μmgcos 37°=ma₁
則有a₁=$\frac{mgsin37°+μmgcos37°}{m}$=10m/s²
（2）設(shè)當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度等于傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速度時(shí)經(jīng)歷的時(shí)間為t₁，位移為x₁，則有
傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速度：v=ωr=10m/s
${t}_{1}=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{10}{10}=1s$
x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{{t}_{1}}^{2}=\frac{1}{2}×10×1=5m$＜20m
當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)速度等于傳送帶速度瞬間，有mgsin 37°＞μmgcos 37°，設(shè)當(dāng)物體下滑速度大于傳送帶轉(zhuǎn)動(dòng)速度時(shí)物體的加速度為a₂，則
${a}_{2}=\frac{mgsin37°-μmgcos37°}{m}=2m/{s}^{2}$
x₂=s-x₁=20-5=15m
又因?yàn)閤₂=vt₂+$\frac{1}{2}$a₂t₂²，則有10t₂+t₂²=15
${t}_{2}′=（-5-2\sqrt{10}）s$（舍去），${t}_{2}″=（-5+2\sqrt{10}）s$
所以t_總=t₁+t₂=（-4+2$\sqrt{10}$）s．
（3）在第1 s內(nèi)，皮帶位移x′=vt=10m．
物體速度大于傳送帶速度，還是原來(lái)的痕跡，則痕跡長(zhǎng)x′-x₁=5m
速度相等后，煤塊相對(duì)傳送帶向下滑
此階段皮帶位移：${x}_{2}=v{t}_{2}=（20\sqrt{10}-50）m$
綜合以上情況知，留下的劃痕長(zhǎng)為$（20\sqrt{10}-50）m$
（4）析可知，當(dāng)煤塊在皮帶上留下的劃痕為整體皮帶長(zhǎng)時(shí)，劃痕最長(zhǎng)
又整根皮帶長(zhǎng)度為：l=2s+2πr=42m
假設(shè)調(diào)整皮帶輪的角速度后，煤塊在傳送帶上一直以${a}_{1}=10m/{s}^{2}$
做勻加速運(yùn)動(dòng)，則煤塊在皮帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t
有：$s=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$
得：t=2s
皮帶的速度為：$v′=\frac{l+s}{t}=\frac{62}{2}=31m/s$
而煤塊離開的速度v″=a₁t=20m/s＜31m/s
故假設(shè)成立，所以皮帶轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為：$ω′=\frac{v′}{r}=31πrad/s$
答：
（1）物體剛放上傳送帶時(shí)的加速度為10m/s²；
（2）煤塊在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為（-4+2$\sqrt{10}$）s；
（3）留下的煤炭劃痕長(zhǎng)為$（20\sqrt{10}-50）m$；
（4）皮帶輪的角速度至少為31πrad/s．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了牛頓第二定律與運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，加速度時(shí)中間橋梁．