Question

5．2011年10月25日，繞月探測(cè)工程、嫦娥一號(hào)衛(wèi)星系統(tǒng)總指揮兼總設(shè)計(jì)師、中科院院士葉培建在南京演講時(shí)表示，中國(guó)載人登月計(jì)劃可能在2025年前后實(shí)現(xiàn)．假如我國(guó)宇航員登上月球并在月球表面以初速度v₀豎直向上拋出一個(gè)小球，經(jīng)時(shí)間t后上升到最高點(diǎn)．已知月球的半徑為R，引力常量為G，求：
（1）月球的平均密度ρ；
（2）月球的第一宇宙速度v₁．

Answer 1

分析 （1）小球做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，已知初速度與上升時(shí)間，應(yīng)用勻變速直線運(yùn)動(dòng)的速度公式可以求出重力加速度，月球表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，求出月球質(zhì)量，然后求出其密度．
（2）萬(wàn)有引力提供向心力，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與向心力公式可以求出月球的第一宇宙速度．

解答 解：（1）小球向上做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，t=$\frac{{v}_{0}}{g}$，月球表面的重力加速度：g=$\frac{{v}_{0}}{t}$；
月球表面的物體受到的萬(wàn)有引力等于重力，即：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
月球的平均密度：ρ=$\frac{M}{\frac{4}{3}π{R}^{3}}$，解得：ρ=$\frac{3{v}_{0}}{4πRGt}$；
（2）衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)萬(wàn)有引力提供向心力，
由牛頓第二定律得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$，解得：v₁=$\sqrt{\frac{R{v}_{0}}{t}}$；
答：（1）月球的平均密度ρ為$\frac{3{v}_{0}}{4πRGt}$；
（2）月球的第一宇宙速度v₁為$\sqrt{\frac{R{v}_{0}}{t}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求月球密度、月球第一宇宙速度問(wèn)題，考查了萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，知道萬(wàn)有引力等于重力、萬(wàn)有引力提供向心力是解題的前提，應(yīng)用萬(wàn)有引力公式與牛頓第二定律可以解題．