Question

【題目】如圖所示，兩個半徑不等的用細金屬導線做成的同心圓環(huán)固定在水平的桌面上。大圓環(huán)半徑為，小圓環(huán)表面絕緣半徑為（），兩圓環(huán)導線每單位長度電阻均為，它們處于勻強磁場中，磁感應強度大小為，方向豎直向下，一每單位長度電阻為的長直金屬細桿放在大圓環(huán)平面上，并從距圓環(huán)中心左側為（>）的ab位置，以速度勻速向右沿水平面滑動到相對于大圓環(huán)中心與ab對稱的位置cd，滑動過程中金屬桿始終與大圓環(huán)保持密接。假設金屬桿和大圓環(huán)的電流在小圓環(huán)處產生的磁場均可視為勻強磁場。試求在上述滑動過程中通過小圓環(huán)導線橫截面的電荷量。

提示：當半徑為，長度為的一段圓弧導線通有電流時，圓弧電流在圓心處產生的磁感應強度大小為，方向垂直于圓弧所在平面且與圓弧電流的方向滿足右手螺旋法則；無限長直導線通有電流時，電流在距直導線距離為處產生的磁感應強度的大小為，其中為已知常量。

Answer 1

【答案】

【解析】

如圖1所示，當長直金屬桿在ab位置以速度水平向右滑動到時，因切割磁力線，在金屬桿中產生由b指向a的感應電動勢的大小為

①

式中為金屬桿在ab位置時與大圓環(huán)兩接觸點間的長度，由幾何關系有

②

在金屬桿由ab位置滑動到cd位置過程中，金屬桿與大圓環(huán)接觸的兩點之間的長度可視為不變，近似為.將②式代入①式得，在金屬桿由ab滑動到cd過程中感應電動勢大小始終為

③

以、和分別表示金屬桿、桿左和右圓弧中的電流，方向如圖1所示，以表示a、b兩端的電壓，由歐姆定律有

④

⑤

式中，和分別為金屬桿左、右圓弧的弧長.根據提示，和中的電流在圓心處產生的磁感應強度的大小分別為

⑥

⑦

方向豎直向上，方向豎直向下.

由④、⑤、⑥和⑦式可知整個大圓環(huán)電流在圓心處產生的磁感應強度為

⑧；

無論長直金屬桿滑動到大圓環(huán)上何處，上述結論都成立，于是在圓心處只有金屬桿的電流I所產生磁場.

在金屬桿由ab滑動到cd的過程中，金屬桿都處在圓心附近，故金屬桿可近似視為無限長直導線，由提示，金屬桿在ab位置時，桿中電流產生的磁感應強度大小為

⑨；

方向豎直向下.對應圖1的等效電路如圖2，桿中的電流

⑩

其中為金屬桿與大圓環(huán)兩接觸點間這段金屬桿的電阻，和分別為金屬桿左右兩側圓弧的電阻，由于長直金屬桿非常靠近圓心，故

利用③、⑨、⑩和式可得

由于小圓環(huán)半徑，，小圓環(huán)圓面上各點的磁場可近似視為均勻的，且都等于長直金屬桿在圓心處產生的磁場.當金屬桿位于ab處時，穿過小圓環(huán)圓面的磁感應通量為

當長直金屬桿滑到cd位置時，桿中電流產生的磁感應強度的大小仍由式表示，但方向相反，故穿過小圓環(huán)圓面的磁感應通量為

在長直金屬桿以速度從ab移動到cd的時間間隔內，穿過小圓環(huán)圓面的磁感應通量的改變?yōu)?/span>

由法拉第電磁感應定律可得，在小圓環(huán)中產生的感應電動勢為大小為

在長直金屬桿從ab移動cd過程中，在小圓環(huán)導線中產生的感應電流為

于是，利用和式，在時間間隔內通過小環(huán)導線橫截面的電荷量為