Question

14．理論上已經(jīng)證明質(zhì)量分布均勻的球殼對(duì)殼內(nèi)物體的引力為零．設(shè)地球是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體，設(shè)想沿地球的直徑挖一條隧道，將物體從此隧道一端由靜止釋放剛好運(yùn)動(dòng)到另一端，如圖所示．不考慮阻力，在此過(guò)程中關(guān)于物體的運(yùn)動(dòng)速度v隨時(shí)間，變化的關(guān)系圖象可能是（　�。�

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根據(jù)題意知，地球表面的重力加速度等于半徑為R的球體在表面產(chǎn)生的加速度，深度為d位置的加速度相當(dāng)于半徑為R-d的球體在其產(chǎn)生的加速度，根據(jù)地球質(zhì)量分布均勻得到加速度的表達(dá)式，再根據(jù)半徑關(guān)系分析加速度的變化求解即可．

解答 解：如果物體在距地心為r處（r≤R），那么這個(gè)物體只會(huì)受到以地心為球心、以r為半徑的那部分球體的萬(wàn)有引力，而距地心為r到R之間的物質(zhì)對(duì)物體作用力的合力為零．物體掉入隧道之后，不是做自由落體運(yùn)動(dòng)．
設(shè)物體的質(zhì)量為m，地球密度為ρ，以半徑為r的那部分球體的質(zhì)量為M，距地心r處的重力加速度為g，則：
M=$\frac{4}{3}$πr³ρ，①
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=mg，②
得：g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$=$\frac{4}{3}$πρGr，③
由于物體掉入隧道之后，r在變化，由③式可知g也在變化，且離地心越近g越小，在地心處g=0．所以物體不是做自由落體運(yùn)動(dòng)．
考慮到方向，有g(shù)=-$\frac{4}{3}$πρGr∝r，即物體的加速度g與位移r大小成正比、方向相反，所以物體在隧道中的運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 解決該題關(guān)鍵要運(yùn)用萬(wàn)有引力等于重力表示出隧道內(nèi)的重力加速度的變化情況去分析運(yùn)動(dòng)情況．