Question

12．如圖所示，PQ右側平面區(qū)域分布N個足夠大條形磁感應強度為B的勻強磁場，方向垂直紙面向里，相鄰磁場區(qū)域的距離為S．左測存在一個加速電場，A板為加速電場正極板，B板為負極板，極板間電壓為U，質量m、帶正電量為q 的粒子從A板靜止釋放加速后垂直射入磁場（重力不計）．
（1）試求粒子在磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑；
（2）粒子恰好經(jīng)過右邊第二個磁場區(qū)域的右邊界后返回，最終垂直PQ邊界離開磁場，試求從粒子進入磁場返回邊界PQ所用的時間；
（3）若要求粒子經(jīng)過右邊第N個磁場后再返回通過邊界PQ，試求加速電場的電壓應該調節(jié)到多大．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動能定理求出粒子進入磁場時的速度，結合半徑公式求出粒子在磁場中運動的軌道半徑．
（2）粒子在兩個磁場中的運動軌跡可以看成一個完整的半圓軌跡，根據(jù)周期公式求出在磁場中的運動時間，結合幾何關系，運用運動學公式求出在磁場間隙間的運動時間，從而得出總時間．
（3）根據(jù)粒子在磁場中的運動軌道半徑，結合加速電壓與軌道半徑的關系求出加速電壓調節(jié)的范圍．

解答 解：（1）粒子在電場中加速到磁場中，有：qU=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
粒子在磁場中受洛倫茲力作勻速圓周運動，f=qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
軌道半徑r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$．
（2）可以將兩個磁場的軌跡看成一個完整的半圓軌跡，r=$\frac{mv}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
在磁場中運動的時間${t}_{1}=\frac{T}{2}$，T=$\frac{2πm}{qB}$，則${t}_{1}=\frac{πm}{qB}$．
條形磁場區(qū)域寬度d=$\frac{r}{2}=\frac{1}{2B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$，
則粒子經(jīng)過第一個磁場偏轉角sinθ=$\frack7as7cp{r}=\frac{π}{6}$，在磁場間隙運動軌跡是直線2m
運動的時間為${t}_{2}=\frac{2s}{vcos\frac{π}{6}}=\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$，
t=t₁+t₂=$\frac{πm}{qB}+\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$．
（3）${r}_{1}=\frac{m{v}_{1}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{1}}{q}}$，${r}_{2}=\frac{m{v}_{2}}{qB}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m{U}_{2}}{q}}$，
解得${U}_{1}=\frac{{N}^{2}}{4}U$，${U}_{2}=\frac{（N-1）^{2}}{4}U$，
則調節(jié)后的電壓U_x滿足$\frac{（N-1）^{2}}{4}U＜{U}_{x}≤\frac{{N}^{2}}{4}U$．
答：（1）粒子在磁場區(qū)域做圓周運動的軌道半徑為$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$；
（2）從粒子進入磁場返回邊界PQ所用的時間為$\frac{πm}{qB}+\frac{4\sqrt{3}s}{3}\sqrt{\frac{m}{2qU}}$；
（3）加速電場的電壓應該調節(jié)到$\frac{（N-1）^{2}}{4}U＜{U}_{x}≤\frac{{N}^{2}}{4}U$．

點評 本題考查了帶電粒子在磁場中的運動，關鍵作出粒子的運動軌跡，抓住臨界狀態(tài)，結合半徑公式、周期公式進行求解．