Question

18．如圖所示，將傾角為37°的大三角形劈切開(kāi)為等寬的小三角形劈和眾多的梯形劈．現(xiàn)重新將各劈放在一起（各劈互不粘連），組成回原來(lái)的大三角形劈，從小三角形劈開(kāi)始，依次編號(hào)為1，2，…，n．可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊質(zhì)量為m=1kg，與斜面部分的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₁=0.5，小三角形劈的質(zhì)量為M₀=1kg，劈的斜面長(zhǎng)度均為L(zhǎng)=0.3m，與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ₂=$\frac{2}{11}$，現(xiàn)使物塊以平行于斜面方向的初速度6m/s從三角形劈的底端沖上斜面，假定最大表摩擦力與滑動(dòng)摩擦力相等．
（1）試求出第n塊劈的質(zhì)量Mn與小三角形劈質(zhì)量M₀的關(guān)系式．
（2）若將所有劈都固定在水平面上，物塊最終能沖上第幾塊劈？
（3）若所有劈均不固定，物塊滑過(guò)第n₀塊劈時(shí)梯形劈開(kāi)始相對(duì)地面滑動(dòng)，試尋找n₀與n的關(guān)系．（n₀、n均為正整數(shù)）

Answer 1

分析 根據(jù)各物塊的體積比求質(zhì)量比；
當(dāng)劈固定時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律求出物塊的加速度大小，結(jié)合速度位移公式求出物塊滑動(dòng)的位移，進(jìn)而判斷出能沖上第幾塊；
根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出劈開(kāi)始相對(duì)地面滑動(dòng)時(shí)，物塊的速度．

解答 解：（1）根據(jù)小三角形劈與各梯形劈的幾何關(guān)系可知：
第1塊劈（小三角形）質(zhì)量：M₁=M₀
第2塊劈（梯形）質(zhì)量：M₂=3M₀
第3塊劈的質(zhì)量：M₃=5M₀
…
第n塊劈質(zhì)量：M_n=（2n-1）M₀（n=1，2，3…）
（2）若劈一直保持靜止不動(dòng)，則物塊在開(kāi)始上滑至上升到最高點(diǎn)的過(guò)程中，有：
物塊與斜面間的彈力：F_N1=mgcos37°
滑動(dòng)摩擦力f₁=μ₁F_N1
由動(dòng)能定理得：
mgsin37°S+f₁S=$\frac{1}{2}$mv₀²-0
代入數(shù)據(jù)的：S=1.8m
n=$\frac{S}{L}$=6
所以物塊最終能沖上第6塊斜劈的頂端；
（3）大三角形劈的總質(zhì)量為：
M${\;}_{1-{n}_{0}}$=M₀+3M₀+（2n-1）M₀
所以，第n₀+1塊劈以后的所有劈的質(zhì)量為：
M${\;}_{（{n}_{0}+1）-n}$=M_n-M${\;}_{1-{n}_{0}}$=（n²-n₀²）M₀
從第n₀+1塊劈以后的所有劈收到地面的支持力為：
F_N2=M${\;}_{（{n}_{0}+1）-n}$g+F_N1cos37°-f₁sin37°
當(dāng)f₁cos37°+F_N1sin37°=μ₂F_N2時(shí)剛好開(kāi)始滑動(dòng)
解得：n²-n₀²=4
答：（1）第n塊劈的質(zhì)量Mn與小三角形劈質(zhì)量M₀的關(guān)系式為M_n=（2n-1）M₀（n=1，2，3…）．
（2）若將所有劈都固定在水平面上，物塊最終能沖上第6塊劈．
（3）若所有劈均不固定，物塊滑過(guò)第n₀塊劈時(shí)梯形劈開(kāi)始相對(duì)地面滑動(dòng)，尋找n₀與n的關(guān)系n²-n₀²=4．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵能夠正確地受力分析，運(yùn)用共點(diǎn)力平衡、牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律進(jìn)行求解，知道加速度是聯(lián)系力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)的橋梁．