Question

15．如圖所示，在方向豎直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，有兩條光滑的平行金屬導(dǎo)軌，其電阻不計(jì)，間距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與磁場(chǎng)方向垂直，ab、cd為兩根垂直導(dǎo)軌放置的、電阻都為R、質(zhì)量都為m的金屬棒，棒cd用最大拉力為f的水平細(xì)線拉住，棒ab在水平拉力F的作用下以加速度a向右做勻加速運(yùn)動(dòng)．求：
（1）F隨時(shí)間的變化規(guī)律．
（2）經(jīng)多長(zhǎng)時(shí)間細(xì)線將被拉斷？
（3）若在細(xì)線被拉斷的瞬間撤去拉力F，則棒ab和棒cd的最終速度為多大？
（4）從細(xì)線斷開(kāi)到兩金屬棒達(dá)到最終速度，電路中產(chǎn)生了多少熱量？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)速度時(shí)間公式求出速度的表達(dá)式，從而根據(jù)切割產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和閉合電路歐姆定律求出電流的大小，得出安培力的大小，根據(jù)牛頓第二定律求出水平拉力F隨時(shí)間的變化規(guī)律．
（2）對(duì)CD棒分析，當(dāng)CD棒所受的安培力等于繩子的最大拉力時(shí)，繩子斷裂，抓住共點(diǎn)力平衡求出細(xì)線將被拉斷的時(shí)間．
（3）若在細(xì)線被拉斷的瞬間撤去拉力F，則棒ab和棒cd的組成的系統(tǒng)在水平方向不受力，滿足動(dòng)量守恒定律，由動(dòng)量守恒定律列式即可求出最終速度；
（4）從細(xì)線斷開(kāi)到兩金屬棒達(dá)到最終速度的過(guò)程中，由于產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)和感應(yīng)電流，桿的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，由功能關(guān)系即可求出電路中產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）在時(shí)刻t，棒的速度：v=a t
棒中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=B L v=B L a t
棒中的感應(yīng)電流為：I=$\frac{BLat}{2R}$
由牛頓第二定律有：F-BIL=ma
得：F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$
（2）細(xì)線拉斷時(shí)滿足：
BIL=T₀
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}a}{2R}t=f$
解得：t=$\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}a}$
（3）撤去拉力時(shí)，桿ab的速度：v=at=$a×\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}a}=\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}}$
撤去拉力F后則棒ab和棒cd的組成的系統(tǒng)在水平方向不受力，滿足動(dòng)量守恒定律，選擇向右為正方向，設(shè)最終的速度為v′，得：
mv=（m+m）v′
聯(lián)立得：$v′=\frac{Rf}{{B}^{2}{L}^{2}}$
（4）撤去拉力后系統(tǒng)減少的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，則：
$Q=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}×2mv{′}^{2}$
聯(lián)立得：Q=$\frac{m{f}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$
答：（1）線斷以前水平拉力F隨時(shí)間t的變化規(guī)律為F=$\frac{{{B^2}{L^2}a}}{2R}t+ma$；
（2）經(jīng)過(guò)時(shí)間$\frac{2Rf}{{B}^{2}{L}^{2}a}$細(xì)線將被拉斷．．
（3）若在細(xì)線被拉斷的瞬間撤去拉力F，則棒ab和棒cd的最終速度為$\frac{Rf}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）從細(xì)線斷開(kāi)到兩金屬棒達(dá)到最終速度，電路中產(chǎn)生了熱量是$\frac{m{f}^{2}{R}^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合，雖然題目的情景設(shè)置比較常見(jiàn)，但是4個(gè)小問(wèn) 涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，在解答的過(guò)程中要理清思路，把握相應(yīng)的規(guī)律與公式．