Question

11．某顆地球同步衛(wèi)星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠(yuǎn)鏡觀察被太陽(yáng)光照射的此衛(wèi)星，春分那天（太陽(yáng)光直射赤道）在日落后的12小時(shí)內(nèi)有t₁時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星．已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉(zhuǎn)周期為T，衛(wèi)星的繞行方向與地球轉(zhuǎn)動(dòng)方向相同，不考慮大氣對(duì)光的折射．下列說(shuō)法中正確的是（　�。�

• A． 同步衛(wèi)星離地高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{2{π}^{2}}}$
• B． 同步衛(wèi)星離地高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
• C． t₁=$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$
• D． t₁=$\frac{T}{2π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$

Answer 1

分析 同步衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，受到的萬(wàn)有引力提供向心力，其向心力用周期表示，結(jié)合“黃金代換”求出同步衛(wèi)星的軌道半徑，再利用幾何關(guān)系確定太陽(yáng)照不到同步衛(wèi)星的范圍，那么，即可求出看不到衛(wèi)星的時(shí)間．

解答 解：A、設(shè)地球同步衛(wèi)星的軌道半徑為r，其受到的地球萬(wàn)有引力提供向心力，即：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}$，
對(duì)地面上的物體萬(wàn)有引力等于重力有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$，
由以上兩式可得：r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，
所以同步衛(wèi)星離地高度為h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R．故A錯(cuò)誤，B正確；
C、根據(jù)光的直線傳播規(guī)律，日落12小時(shí)內(nèi)有t₁時(shí)間該觀察者看不見(jiàn)此衛(wèi)星圖示如圖所示，

同步衛(wèi)星相對(duì)地心轉(zhuǎn)過(guò)角度為θ=2α，sinα=$\frac{R}{r}$，
結(jié)合θ=ωt=$\frac{2π}{T}$t，
解得：t₁=$\frac{T}{π}$arcsin$\root{3}{\frac{4{π}^{2}R}{g{T}^{2}}}$，故C正確，D錯(cuò)誤；
故選：BC

點(diǎn)評(píng) 解決天體問(wèn)題把握兩條思路：一是萬(wàn)有引力提供向心力，二是重力等于萬(wàn)有引力．針對(duì)本題關(guān)鍵還要分析好幾何關(guān)系來(lái)求解．