Question

7．小球a、b用一處于原長(zhǎng)的微型輕質(zhì)彈簧連接，靜止在高度H=1m的平臺(tái)上A處，a和b的質(zhì)量分別為0.09kg  和0.1kg．一顆質(zhì)量為m₀=0.01kg的子彈c以v=400m/s的初速度水平射入a并留在其中，當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)使彈簧處于鎖定狀態(tài)，之后它們共同沿粗糙曲面AB滑下，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)后，進(jìn)入豎直平面的圓形光滑軌道，并能通過(guò)圓軌道的最高點(diǎn)C已知圓軌道半徑R=0.4m，當(dāng)ab到達(dá)C位置時(shí)彈簧在極短時(shí)間內(nèi)解除鎖定并迅速與a、b分離，分離后a的速度恰好為零而b繼續(xù)沿圓周運(yùn)動(dòng)．將a、b以及彈簧組成的系統(tǒng)看成質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)彈簧壓縮和彈開(kāi)的時(shí)間，設(shè)a球落下后不會(huì)與b球相椪，求（取g=10m/s²）：
（1）彈簧處于鎖定狀態(tài)時(shí)具有的彈性熱能Ep；
（2）子彈c和a、b在AB段克服阻力所做的功W
（3）小球b第二次到達(dá)B處時(shí)對(duì)軌道的壓力．

Answer 1

分析 （1）子彈c射入a的過(guò)程，系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，由動(dòng)量守恒定律求出ac的共同速度．之后ac壓縮彈簧，當(dāng)ac與b的速度相同時(shí)，彈簧壓縮到最短，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒求彈簧處于鎖定狀態(tài)時(shí)具有的彈性熱能E_p；
（2）在C點(diǎn)，彈簧在極短時(shí)間內(nèi)解除鎖定a、b分離，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律結(jié)合求出整體到達(dá)C點(diǎn)的速度和a、b分離瞬間a的速度．從B到C，由機(jī)械能守恒定律求出整體在B點(diǎn)的速度．從A到B的過(guò)程，由動(dòng)能定理求克服阻力所做的功W．
（3）小球b由C到B過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律求出b球第二次到達(dá)B點(diǎn)的速度．在B點(diǎn)，由合力提供向心力，由牛頓定律求小球b對(duì)軌道的壓力．

解答 解：（1）子彈c射入a，對(duì)ac系統(tǒng)，取向右為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
           m_cv=（m_c+m_a）v₁
解得，子彈射入a后ac的共同速度 v₁=40m/s
彈簧壓縮到最短時(shí)，a、b、c三者的速度相同，對(duì)abc系統(tǒng)，由動(dòng)量守恒定律得
      m_cv=（m_c+m_b+m_a） v₂
解得，v₂=20m/s
彈簧處于鎖定狀態(tài)時(shí)具有的彈性勢(shì)能 E_p=$\frac{1}{2}$（m_c+m_a）v₁²-$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₂²=40J
（2）A到B過(guò)程，由動(dòng)能定理得
   （m_c+m_b+m_a）gH-W_f=$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₃²-$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₂²
B到C過(guò)程，abc整體的機(jī)械能守恒，則有：
  $\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₃²=$\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₄²+（m_c+m_b+m_a）g•2R
彈簧在極短時(shí)間內(nèi)解除鎖定a、b分離，取向左為正方向，由動(dòng)量守恒定律得
     （m_c+m_b+m_a） v₄=m_bv₅
由能量守恒定律得：
   $\frac{1}{2}$（m_c+m_b+m_a） v₄²+E_p=$\frac{1}{2}$m_b v₅²
解得 v₄=20m/s   v₅=40m/s   v₃=40m/s
子彈和a、b在AB段克服阻力所做的功  W_f=0.4J  
（3）小球b由C到B過(guò)程，由機(jī)械能守恒定律得
   $\frac{1}{2}$m_bv₆²=$\frac{1}{2}$m_b v₅²+m_bg•2R
小球b第二次到達(dá)B處時(shí)   F₁-m_bg=m_b$\frac{{v}_{6}^{2}}{R}$
解得  F₁=321N    
由牛頓第三定律有對(duì)軌道的壓力  F₂=F₁=405N 
答：
（1）彈簧處于鎖定狀態(tài)時(shí)具有的彈性熱能E_p是40J．
（2）子彈c和a、b在AB段克服阻力所做的功W是0.4J．
（3）小球b第二次到達(dá)B處時(shí)對(duì)軌道的壓力是405J．

點(diǎn)評(píng) 本題是多對(duì)象、多過(guò)程的問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的物理規(guī)律，知道子彈射入a時(shí)，a、c系統(tǒng)的動(dòng)量守恒，但b未參與．彈簧釋放的過(guò)程，系統(tǒng)遵守兩大守恒：動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律．