Question

13．如圖所示，是某電視臺娛樂節(jié)目設計的一種驚險刺激的項目，圖中D點為圓軌道的最低點，水平軌道DE粗糙，其動摩擦因數(shù)為μ=0.2，其余各處摩擦不計．一挑戰(zhàn)者質(zhì)量m=60kg，從高H=5m處沿斜面軌道滑下（不計過B點時的能量損失），然后滑入半徑為R=1.6m圓形軌道，并作完整的圓周運動，又從D點滑至E點，最后水平飛入水池內(nèi)，DE距離為L=5m，E點離水面的豎直高度為h=5m，g取10m/s²，人在運動全過程中可視為質(zhì)點．
（1）此挑戰(zhàn)者運動至圓軌道的最高點C時，求軌道對此挑戰(zhàn)者的作用力大��；
（2）此挑戰(zhàn)者從E點水平滑出落入水中，求入水點離水池邊緣的水平距離x₁；
（3）如果改變此挑戰(zhàn)者的起始高度H，則水平距離x也會不同．為了保險起見，節(jié)目組在水面上放一只救生圈，為了完成此挑戰(zhàn)項目并保證挑戰(zhàn)者安全，求救生圈所放位置離水池邊緣的水平距離x₂最小值．

Answer 1

分析 （1）研究此挑戰(zhàn)者從A運動到C點的過程，運用機械能守恒定律求出C點的速度，在C點，根據(jù)合力等于向心力，求出軌道對此挑戰(zhàn)者的作用力．
（2）選取A到E過程研究，根據(jù)動能定理求他運動到E點的速度，再由平拋運動的規(guī)律求入水點離水池邊緣的水平距離x₁．
（3）挑戰(zhàn)者剛好通過C點時為臨界狀態(tài)，他通過C點的速度最小，選取C到E過程研究，根據(jù)功能關(guān)系求出他通過E點的速度，再求出水平距離x₂最小值．

解答 解：（1）選取D、E點所在水平面為零勢能面．此挑戰(zhàn)者從A運動到C點的過程，運用機械能守恒定律得：
 $mgH=\frac{1}{2}m{v^2}+mg2R$
在C點，由牛頓第二定律得：${N_C}+mg=m\frac{v^2}{R}$
聯(lián)立解得：${N_C}=（\frac{2H}{R}-5）mg$
代入數(shù)據(jù)得：N_C=750N
（2）選取A到E過程研究，根據(jù)動能定理得：
$mgH-μmgL=\frac{1}{2}mv_E^2$
挑戰(zhàn)者離開E點后做平拋運動，則有：
x₁=v_Et
$y=\frac{1}{2}g{t^2}$
解得：${x_1}=2\sqrt{y（H-μL）}$
代入數(shù)據(jù)得：${x_1}=4\sqrt{5}m$
（3）剛好通過C點時，為臨界狀態(tài)，此時有：mg=m$\frac{{v}_{Cm}^{2}}{R}$，
得：${v_{Cm}}=\sqrt{gR}$
選取C到E過程研究，根據(jù)功能關(guān)系得：
$mg2R+\frac{1}{2}mv_{Cm}^2-μmgL=\frac{1}{2}mv_{Em}^2$
又有：${x_2}={v_{Em}}\sqrt{\frac{2y}{g}}$
聯(lián)立解得：${x_2}=\sqrt{2y（5R-2μL）}$
代入數(shù)據(jù)得：${x_2}=2\sqrt{15}m$
答：（1）此挑戰(zhàn)者運動至圓軌道的最高點C時，軌道對此挑戰(zhàn)者的作用力大小是750N；
（2）此挑戰(zhàn)者從E點水平滑出落入水中，入水點離水池邊緣的水平距離x₁是4$\sqrt{5}$m；
（3）救生圈所放位置離水池邊緣的水平距離x₂最小值是2$\sqrt{15}$m．

點評 本題是多過程問題，應用動能定理時要靈活選擇研究的過程．對于平拋運動，要掌握運動的分解法和分運動的規(guī)律．要明確豎直平面圓周運動的臨界條件：重力等于向心力．