Question

4．如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長為L的細繩系于O點，把小球拿到O點正上方且使細繩拉直的位置A后，以v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$的速度水平向右彈出（空氣阻力不計）
（1）小球從彈出至下落到與O點等高的位置這一過程中，小球做什么運動，請說明理由；
（2）求小球到達最低點時細繩上的拉力大�。�

Answer 1

分析 （1）由于v＜v₀，故繩中沒有張力，小球將做平拋運動；
（2）先結合平拋運動的特點求出繩子拉直的瞬間小球的速度大小以及小球的速度與豎直方向之間的夾角，并進一步求出小球沿半徑方向的分速度與垂直于半徑方向的分速度，再由動能定理求的O點最低端的速度，由牛頓第二定律求的拉力．

解答 解：（1）若小球能作圓周運動，設最高點速度至少為v₀
$mg=\frac{{mv}_{0}^{2}}{L}$
${v}_{1}=\sqrt{gL}＞\sqrt{\frac{gL}{2}}$
小球以v=$\sqrt{\frac{gL}{2}}$作平拋運動．
（2）設當小球運動到B點，此時OB與豎直方向夾角為θ，
Lsinθ=v₀t            ①
L+Lcosθ=$\frac{1}{2}$gt²        ②
由①②代入數(shù)據(jù)得：cosθ=$\frac{4}{5}$，sinθ=$\frac{3}{5}$
豎直分速度為：v_y²=2gL（1+cosθ）
繩繃緊瞬間沿半徑方向速度立即減小為0，設切線方向速度為v₁
v₁=v_ysinθ-v₀ cosθ
小球由B運動到最低點C，由機械能守恒有：$\frac{1}{2}{mv}_{C}^{2}=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}+mgL（1-cosθ）$
小球在C點根據(jù)牛頓運動定律，有：$F-mg=m\frac{{v}_{C}^{2}}{L}$
聯(lián)立解得：F=$\frac{m（\sqrt{2gL（1-cosθ）}-{v}_{0}cosθ）^{2}}{L}+3mg-2mgcosθ$
答：（1）小球從彈出至下落到與O點等高的位置這一過程中，小球做平拋運動；
（2）小球到達最低點時細繩上的拉力大小是$\frac{m（\sqrt{2gL（1-cosθ）}-{v}_{0}cosθ）^{2}}{L}+3mg-2mgcosθ$．

點評 要使小球在豎直面內(nèi)能夠做完整的圓周運動，在最高點時至少應該是重力作為所需要的向心力，這是本題中的一個臨界條件，與此時的物體的速度相對比，可以判斷物體能否做圓周運動，進而再根據(jù)不同的運動的規(guī)律來分析解決問題，本題能夠很好地考查學生的分析解決問題的能力，是道好題．