Question

如圖所示，水平地面上有一輛固定有長(zhǎng)為L(zhǎng)的豎直光滑絕緣管的小車，管的底部有一質(zhì)量m=0.2g、電荷量q=8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內(nèi)徑略�。�在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₁=15T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，MN面的上方還存在著豎直向上、場(chǎng)強(qiáng)E=25V/m的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂=5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)．現(xiàn)讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運(yùn)動(dòng)，以帶電小球剛經(jīng)過場(chǎng)的邊界PQ為計(jì)時(shí)的起點(diǎn)，測(cè)得小球?qū)�管�?cè)壁的彈力F_N隨高度h變化的關(guān)系如圖所示．g取10m/s²，π取3.14，不計(jì)空氣阻力．求：
（1）小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)B₁時(shí)的加速度大小a；
（2）絕緣管的長(zhǎng)度L；
（3）小球離開管后再次經(jīng)過水平面MN時(shí)距管口的距離△x．

Answer 1

分析：（1）小球在水平方向上隨小車做勻速直線運(yùn)動(dòng)，剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，在豎直方向上對(duì)小球受力分析，受到豎直向下的重力和豎直向上的電場(chǎng)力以及洛倫茲力，在豎直方向上利用牛頓第二定律可求出小球的加速度．
（2）在小球剛要離開管口時(shí)，在水平方向上合力為零，在水平方向上受管側(cè)壁的彈力和洛倫茲力（此力是速度在豎直方向上的分量產(chǎn)生的）結(jié)合牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式可求出絕緣管的長(zhǎng)度．
（3）當(dāng)小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)時(shí)，對(duì)其受力分析，受到重力、電場(chǎng)力和洛倫茲力，經(jīng)計(jì)算可判斷重力和電場(chǎng)力平衡，可知小球會(huì)在洛倫茲力的作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，做出小球的運(yùn)動(dòng)軌跡圖，利用有邊界磁場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律可求出小球和管口在水平方向上的位移之差．

解答：解：（1）以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，豎直方向小球受重力和恒定的洛倫茲力f，故小球在管中豎直方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度設(shè)為a，則a=

f-mg

m

=

qvB1-mg

m

=2m/s2
即小球剛進(jìn)入磁場(chǎng)B₁時(shí)的加速度大小a為2m/s²．
（2）在小球運(yùn)動(dòng)到管口時(shí)，F(xiàn)_N=2.4×10^-3N，設(shè)v₁為小球豎直分速度，由F_N=qv₁B₁，則v1=

FN

qB1

=2m/s
由

v

2 1

=2aL得L=

v 2 1

2a

=1m
即絕緣管的長(zhǎng)度L為1m．
（3）小球離開管口進(jìn)入復(fù)合場(chǎng)，其中qE=2×10^-3N，mg=2×10^-3N．故電場(chǎng)力與重力平衡，小球在復(fù)合場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．
合速度v′=

v2+ v 2 1

=2

2

m/s，與MN成45°角，
軌道半徑為R，R=

mv′

qB2

=

2

m
小球離開管口開始計(jì)時(shí)，到再次經(jīng)過
MN所通過的水平距離：S1=

2

R=2m
對(duì)應(yīng)時(shí)間t=

1

4

T=

πm

2qB2

=

π

4

s
小車運(yùn)動(dòng)距離為S2=vt=

π

2

m
△x=x1-x2=2-

π

2

≈0.43m
答：球離開管后再次經(jīng)過水平面MN時(shí)距管口的距離△x為0.43m．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了帶電粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，對(duì)復(fù)合場(chǎng)的理解和運(yùn)動(dòng)過程的分析是解決此類問題的關(guān)鍵．第一問中實(shí)際速度斜向右上方；第二位通過彈力求解出豎直分速度，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解；第三位關(guān)鍵畫出運(yùn)動(dòng)軌跡．