如圖甲所示,兩平行金厲板A,B的板長L=0.2m,板間距d=0.2m.兩金屬板 間加如圖乙所示的交變電壓,并在兩板間形成交變的勻強電場,忽略其邊緣效應.在金 屬板上側(cè)有方向垂直于紙面向里的勻強磁場,其上下寬度D=0.4m,左右范圍足夠大,邊界MN和PQ均與金屬板垂直,勻強磁場的磁感應強度B=1x 1O-2T.在極板下側(cè)中點O處有一粒子源,從t=0時起不斷地沿著00'發(fā)射比荷
q
m
=1x108C/kg、初速度v0=2x 105m/s的帶正電粒子.忽略粒子重力、粒子間相互作用以及粒子在極板間飛行時極 板間的電壓變化.sin30=0.5,sin37=0.6,sin45=
2
2

(1)求粒子進入磁場時的最大速率
(2)對于在磁場中飛行時間最長的粒子,求出其在磁場中飛行的時間以及由0點出發(fā) 的可能時刻.
(3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子,試求這些粒子在MN邊界上出射區(qū)域的寬度.

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(1)設粒子恰從金屬板邊緣飛出時,AB兩板間的電壓為U0,由運動學公式及牛頓第二定律得:
 
1
2
d=
1
2
a1t2
 
  qE1=ma1
  E1=
U0
d

  t=
L
v0

聯(lián)立以上各式,解得,U0=400V<500V
設粒子進入磁場時的最大速率為vm,由動能定理得
 q?
1
2
U0
=
1
2
m
v2m
-
1
2
m
v20

解得,vm=2
2
×105m/s
(2)分析可知,在磁場中飛行時間最長的粒子,其運動軌跡應在電場中向B板偏轉(zhuǎn),在磁場中恰好與上邊界相切,如圖所示,設粒子進入磁場時,速度v與OO′成θ角,在磁場中運動時間為
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tm,由牛頓第二定律、平行四邊形定則、幾何關(guān)系及運動學公式得
   qvB=m
v2
R

   v=
v0
cosθ

  R(1+sinθ)=D
  T=
2πm
qB

 tm=
180°+2θ
360°
?T

聯(lián)立上述各式,解得,θ=37°,tm=
127
90
π×10-6s
≈4.43×10-6s
設這些粒子進入磁場時在垂直于金屬板方向的速度為vy,對應AB兩板間的電壓為U1,在電場中運動的時間為t1,由O點出發(fā)的可能時間為t,則有
   vy=v0tanθ
   vy=a2t1
   qE2=ma2
   E2=
U1
d

聯(lián)立解得,U1=300V
結(jié)合UAB-t圖象可得,當U1=300V時,在一個周期內(nèi)對應的時刻為:t0=0.4s或3.6s,因為電壓的周期為T=4s,所以粒子在O點出發(fā)可能時刻為
   t=nT+t0
即 t=(4n+0.4)s或(4n+3.6)s,其中 n=0,1,2,…
(3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子,射出時都集中在電壓U1=+300V時和電壓U2=-400V時射出點CG之間的范圍內(nèi),如圖所示.
對于電壓U1=+300V射出的粒子,設O′D=y,則由運動學公式和牛頓第二定律得
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  y=
1
2
a2
t21

  qE2=ma2
   E2=
U1
d

解得,y=0.075m
由第(2)問,該粒子在磁場中的運動半徑為R,射出電場時速度v與OO′成θ角.設在MN邊界上的射出點C和射入點D之間的距離為s1,根據(jù)牛頓第二定律、平行四邊形定則和幾何關(guān)系得
   qvB=m
v2
R

   v=
v0
cosθ

  s1=2Rcosθ
聯(lián)立解得,s1=0.4m.
同理可知,對于U2=-400V時射出的粒子,GH間的距離為s2為:s2=
2mv0
qB

設在MN邊界是粒子出射區(qū)域的寬度為L,由幾何關(guān)系可知:
  L=s2+
1
2
d+y-s1

代入解得,L=0.175m
答:(1)粒子進入磁場時的最大速率是2
2
×105m/s.
(2)對于在磁場中飛行時間最長的粒子,在磁場中飛行的時間是4.43×10-6s,由0點出發(fā)的可能時刻是t=(4n+0.4)s或(4n+3.6)s,其中 n=0,1,2,….
(3)對于所有能從MN邊界飛出磁場的粒子在MN邊界上出射區(qū)域的寬度是0.175m.
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(1)金屬桿剛進入磁場時速度多大?下落了0.3m時速度為多大?
(2)金屬桿下落0.3m的過程中,在電阻R上產(chǎn)生的熱量?
(3)金屬桿下落0.3m的過程中,通過電阻R的電荷量q?

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q
m
=1x108C/kg、初速度v0=2x 105m/s的帶正電粒子.忽略粒子重力、粒子間相互作用以及粒子在極板間飛行時極 板間的電壓變化.sin30=0.5,sin37=0.6,sin45=
2
2

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(1)金屬桿剛進入磁場時速度多大?下落了0.3m時速度為多大?
(2)金屬桿下落0.3m的過程中,在電阻R上產(chǎn)生的熱量?
(3)金屬桿下落0.3m的過程中,通過電阻R的電荷量q?

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