Question

如圖所示，在x軸下方的區(qū)域內(nèi)存在方向與y軸相同的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為E．在x軸上方以原點(diǎn)O為圓心、半徑為R的半圓形區(qū)域內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向垂直于xy平面并指向紙面外，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．y軸下方的A點(diǎn)與O點(diǎn)的距離為d．一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子從A點(diǎn)由靜止釋放，經(jīng)電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)．不計(jì)粒子的重力作用．
（1）求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r．
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀．求E₀．
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E等于第（2）問(wèn)E₀的

2

3

，求粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置．

Answer 1

（1）粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理得qEd=

1

2

mv2  ①
粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做圓周運(yùn)動(dòng)，有qvB=m

v2

r

  ②
解得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑  r=

2mqEd

qB

 ③
（2）要使粒子之后恰好不再經(jīng)過(guò)x軸，則離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向與x軸平行，運(yùn)動(dòng)情況如圖①，由幾何知識(shí)可得  R=

2

r    ④
由以上各式解得  E0=

qB2R2

4md

  ⑤
（3）將E=

2

3

E0代入可得磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 r=

R

3

  ⑥
粒子運(yùn)動(dòng)情況如圖②，圖中的角度α、β滿足  cosα=

R 2

r

=

3

2

   即α=30°   ⑦
則得  β=2α=60°             ⑧
所以  粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置坐標(biāo)為x=r+

r

cosβ

  ⑨
解得x=

3

R  ⑩
答：
（1）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r為

2mqEd

qB

．
（2）要使粒子進(jìn)入磁場(chǎng)之后不再經(jīng)過(guò)x軸，電場(chǎng)強(qiáng)度需大于或等于某個(gè)值E₀．E₀為

qB2R2

4md

．
（3）若電場(chǎng)強(qiáng)度E等于第（2）問(wèn)E₀的

2

3

，粒子經(jīng)過(guò)x軸時(shí)的位置為x=

3

R．