Question

13．如圖所示，豎直平面內(nèi)有無限長、不計電阻的兩組平行光滑金屬導軌，寬度均為L=0.5m，上方連接一個阻值R=1Ω的定值電阻，虛線下方的區(qū)域內(nèi)存在磁感應強度B=2T的勻強磁場．完全相同的兩根金屬桿1和2靠在導軌上，金屬桿與導軌等寬且與導軌接觸良好，電阻均為r=0.5Ω．將金屬桿1固定在磁場的上邊緣（仍在此磁場內(nèi)），金屬桿2從磁場邊界上方h₀=0.8m處由靜止釋放，進入磁場后恰作勻速運動．（g取10m/s²）求：
（1）金屬桿的質(zhì)量m為多大？
（2）若金屬桿2從磁場邊界上方h₁=0.2m處由靜止釋放，進入磁場經(jīng)過一段時間后開始勻速運動．在此過程中整個回路產(chǎn)生了1.4J的電熱，則此過程中流過電阻R的電量q為多少？
（3）金屬桿2仍然從離開磁場邊界h₁=0.2m處由靜止釋放，在金屬桿2進入磁場的同時由靜止釋放金屬桿1，兩金屬桿運動了一段時間后均達到穩(wěn)定狀態(tài)，試求兩根金屬桿各自的最大速度．（已知兩個電動勢分別為E₁、E₂不同的電源串聯(lián)時，電路中總的電動勢E=E₁+E₂．）

Answer 1

分析 （1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，由運動學公式求出進入磁場時的速度v；進入磁場后做勻速運動，重力與安培力平衡，應用安培力公式求出安培力，然后應用平衡條件可求得m．
（2）金屬桿2進入磁場經(jīng)過一段時間后開始勻速運動，速度大小仍等于v．根據(jù)能量守恒求出h₂，由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由歐姆定律求出電流，you8電流定義式求出電荷量．
（3）釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．根據(jù)平衡條件得到兩桿速度之和．由于兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，任何時刻兩者量也相的加速度也都相同，在相同時間內(nèi)速度的增同，根據(jù)速度增量相同，得到速度的關系，聯(lián)立求解兩桿的最大速度．

解答 解：（1）金屬桿2進入磁場前做自由落體運動，
則有：v=$\sqrt{2g{h}_{0}}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s；
金屬桿2進入磁場后勻速運動，則有 mg=BIL
且 E=BLv，I=$\frac{E}{2r+R}$，解得，m=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{（2r+R）g}$，
代入數(shù)據(jù)解得：m=0.2kg；
（2）金屬桿2從下落到再次勻速運動的過程中，
能量守恒（設金屬桿2在磁場內(nèi)下降h₂），則有
mg（h₁+h₂）=$\frac{1}{2}$mv²+Q，代入數(shù)據(jù)解得：h₂=1.3m；
金屬桿2進入磁場到勻速運動的過程中，$\overline{E}$=$\frac{△Φ}{△t}$=$\frac{BL{h}_{2}}{{t}_{2}}$，
$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2r+R}$，q=$\overline{I}$t₂，代入數(shù)據(jù)解得，電量q=0.65C
 （3）金屬2桿剛進入磁場時的速度為v′=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.2}$=2m/s
釋放金屬桿1后，兩桿受力情況相同，且都向下加速運動，合力等于零時速度最大．
mg=BIL，且I=$\frac{{E}_{1}+{E}_{2}}{2r+R}$，E₁=BLv₁，E₂=BLv₂，整理得 v₁+v₂=$\frac{mg（2r+R）}{{B}^{2}{L}^{2}}$，代入數(shù)據(jù)得：v₁+v₂=4m/s
因為兩個金屬桿任何時刻受力情況相同，故任何時刻兩者的加速度也相同，在相同時間內(nèi)速度的增量也都相同，即 v₁-0=v₂-v′，代入數(shù)據(jù)得 v₂=v₁+2，聯(lián)立解得，v₁=1m/s，v₂=3m/s
答：（1）金屬桿2的質(zhì)量m為0.2kg．
（2）流過電阻R的電量q為0.65C．
（3）兩根金屬桿各自的最大速度分別是1m/s和3m/s．

點評 本題是電磁感應與力學知識的綜合，第3問關鍵是抓住兩桿的加速度相同，任何時刻速度的增量相同這一隱含的條件分析兩桿的速度關系．