Question

17．如圖所示，兩水平放置的平行金屬板a、b，板長L=0.2m，板間距d=0.2m，兩金屬板間加可調(diào)控的電壓U，且保證a板帶負(fù)電，b帶正電，忽略電場的邊緣效應(yīng)，在金屬板右側(cè)有一磁場區(qū)域，其左右總寬度s=0.4m，上下范圍足夠大，磁場邊界MN和PQ均與金屬板垂直，磁場區(qū)域被等寬地劃分為n（正整數(shù)）個(gè)豎直區(qū)間，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=5×10^-3T，方向從左向右為垂直紙面向外、向內(nèi)、向外…．在極板左端有一粒子源，不斷地向右沿著與兩板等距的水平線OO′發(fā)射比荷$\frac{q}{m}$=1×10⁸C/kg、初速度為v₀=2×10⁵m/s的帶正電粒子．忽略粒子重力以及它們之間的相互作用．
（1）當(dāng)取U何值時(shí)，帶電粒子射出電場時(shí)的速度偏向角最大；
（2）若n=1，即只有一個(gè)磁場區(qū)間，其方向垂直紙面向外，則當(dāng)電壓由0連續(xù)增大到U過程中帶電粒子射出磁場時(shí)與邊界PQ相交的區(qū)域的寬度；
（3）若n趨向無窮大，則偏離電場的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為多少？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)粒子從邊緣射出時(shí)，速度偏向角最大；根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解即可；
（2）逐漸增大偏轉(zhuǎn)電壓U，速度偏向角變大，磁偏轉(zhuǎn)半徑變大，與PQ交點(diǎn)逐漸上移；找出兩個(gè)臨界情況，根據(jù)洛倫茲力提供向心力列式求解半徑，由幾何關(guān)系得到離開磁場的位置；
（3）考慮粒子以一般情況入射到磁場，速度為v，偏向角為θ，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡趨于一條沿入射速度方向的直線（漸近線）；根據(jù)分運(yùn)動(dòng)公式列式求解即可．

解答 解：（1）設(shè)速度偏向角為θ，則tanθ=$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{0}^{\;}}$，顯然當(dāng)v_y最大時(shí)，tanθ最大．
當(dāng)粒子恰好從極板右邊緣出射時(shí)，速度偏向角最大． 
豎直方程：$y=\fracs840s2i{2}=\frac{1}{2}a{t}_{\;}^{2}$，a=$\frac{qU}{md}$；                      
水平方程：x=L=v₀t                                  
解得：U=400V            
（2）由幾何關(guān)系知，逐漸增大U_ba，速度偏向角變大，磁偏轉(zhuǎn)半徑變大，與PQ交點(diǎn)逐漸上移．    
   
當(dāng)U=0時(shí)，交點(diǎn)位置最低（如圖中D點(diǎn)）：
由Bqv₀=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$得：r₁=$\frac{m{v}_{0}^{\;}}{Bq}$；
此時(shí)交點(diǎn)D位于OO′正下方0.4m處．   
當(dāng)U=400V時(shí)，交點(diǎn)位置最高（如圖中C點(diǎn)）：
由v_y=at=$\frac{Uq}{dm}•\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$=2×10⁵m/s
得：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{2}{v}_{0}^{\;}=2\sqrt{2}×1{0}_{\;}^{5}m/s$
由Bqv=m$\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$，
得：r₂=$\frac{mv}{Bq}=0.4\sqrt{2}m$
由tanθ=$\frac{{v}_{y}^{\;}}{{v}_{x}^{\;}}$=1，得入射方向?yàn)榕c水平方向成45°角；
由幾何關(guān)系得，此時(shí)交點(diǎn)位于OO′正上方${r}_{2}^{\;}-\frac{\sqrt{2}}{2}{r}_{2}^{\;}+\frac0o4imoa{2}$=$0.4\sqrt{2}-0.3（m）$處．
所以交點(diǎn)范圍寬度為：CD=0.4+0.4$\sqrt{2}$-0.3=0.1+0.4$\sqrt{2}$（m）
（3）考慮粒子以一般情況入射到磁場，速度為v，偏向角為θ，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，運(yùn)動(dòng)軌跡趨于一條沿入射速度方向的直線（漸近線）．  
又因?yàn)樗俣却笮〔蛔�，因此磁場中運(yùn)動(dòng)可以等效視為勻速直線運(yùn)動(dòng)．    


軌跡長度為：S′=$\frac{s}{cosθ}$，運(yùn)動(dòng)速率為：v=$\frac{{v}_{0}^{\;}}{cosθ}$
時(shí)間為：t=$\frac{s′}{v}=\frac{s}{{v}_{0}^{\;}}$=$\frac{0.4}{2×1{0}_{\;}^{5}}s=2×1{0}_{\;}^{-6}s$
答：（1）當(dāng)U取400V時(shí)，帶電粒子射出電場時(shí)的速度偏向角最大；
（2）當(dāng)電壓由0連續(xù)增大到U過程中帶電粒子射出磁場時(shí)與邊界PQ相交的區(qū)域的寬度為0.1+0.4$\sqrt{2}$（m）；
（3）若n趨向無窮大，則偏離電場的帶電粒子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t為2×10^-6s．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵明確粒子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，在電場中是類似平拋運(yùn)動(dòng)，在磁場中是勻速圓周運(yùn)動(dòng)，第三問關(guān)鍵是n趨向無窮大時(shí)將粒子的運(yùn)動(dòng)簡化為勻速直線運(yùn)動(dòng)，難在運(yùn)動(dòng)模型的轉(zhuǎn)化．