Question

19．如圖所示為一傳送帶裝置模型，固定斜面的傾角為θ=37°，底端經(jīng)一長(zhǎng)度可忽略的光滑圓弧與足夠長(zhǎng)的水平傳送帶相連接，可視為質(zhì)點(diǎn)的物體質(zhì)量m=3kg，從高h(yuǎn)=1.2m的斜面上由靜止開(kāi)始下滑，它與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₁=0.25，與水平傳送帶的動(dòng)摩擦因數(shù)μ₂=0.4，已知傳送帶以υ=5m/s的速度逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g取10m/s²，不計(jì)空氣阻力．求：

（1）物體從滑上傳送帶到第一次離開(kāi)傳送帶的過(guò)程中與傳送帶間的摩擦生熱值；
（2）物體第一次離開(kāi)傳送帶后滑上斜面，它在斜面上能達(dá)到的最大高度；
（3）從物體開(kāi)始下滑到最終停止，物體在斜面上通過(guò)的總路程；（提示：物體第一次滑到傳送帶上運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間以后又回到了斜面上，如此反復(fù)多次后最終停在斜面底端．）

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)動(dòng)能定理求出物體第一次滑到斜面底端時(shí)的速度．由牛頓第二定律求出物體在傳送帶上滑行的加速度大小，由速度公式求出物體向右運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，從而求物體與傳送帶間的相對(duì)位移，再求摩擦生熱．
（2）由速度公式求出物體第一次離開(kāi)傳送帶時(shí)的速度，再由動(dòng)能定理求它在斜面上能達(dá)到的最大高度．
（3）物體會(huì)最終停在斜面的底端．對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理，可求物體在斜面上通過(guò)的總路程．

解答 解：（1）設(shè)物體第一次滑到底端的速度為υ₀，根據(jù)動(dòng)能定理有：$mgh-{μ_1}mgcos37°•\frac{h}{sin37°}=\frac{1}{2}mυ_0^2$
解得：υ₀=4m/s
在傳送帶上物體的加速度大小為：$a=\frac{{{μ_2}mg}}{m}={μ_2}g=4m/{s^2}$
物體運(yùn)動(dòng)到傳送帶最右端時(shí)的時(shí)間為：${t_1}=\frac{υ_0}{a}=1s$
依題意物體會(huì)返回到傳送帶左端，由運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱(chēng)性知返回時(shí)間為t₁，則從滑上傳送帶到第一次離開(kāi)傳送帶經(jīng)歷的時(shí)間為：t=2t₁
物體的位移為0，物體相對(duì)傳送帶的位移即傳送帶的位移為：x=υt=υ×2t₁=10m
則摩擦產(chǎn)生的熱量為：Q=μ₂mgx=120J
（2）物體第一次返回到左端的速度為：υ′=at₁=4m/s=υ₀
物體以υ₀的初速度從底端沖上斜面達(dá)最大高度，設(shè)最大高度為h_m，由動(dòng)能定理得：$-mg{h_m}-{μ_1}mgcos37°•\frac{h_m}{sin37°}=0-\frac{1}{2}mυ_0^2$
解得：h_m=0.6m
（3）物體會(huì)最終停在斜面的底端．對(duì)全過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理得：mgh=μ₁mgcos37°•s
代入數(shù)據(jù)解得物體在斜面上通過(guò)的總路程為：s=6m
答：
（1）物體從滑上傳送帶到第一次離開(kāi)傳送帶的過(guò)程中與傳送帶間的摩擦生熱值是120J；
（2）物體第一次離開(kāi)傳送帶后滑上斜面，它在斜面上能達(dá)到的最大高度是0.6m；
（3）從物體開(kāi)始下滑到最終停止，物體在斜面上通過(guò)的總路程是6m．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵理清物體在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)合牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理進(jìn)行求解，知道物體在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，摩擦力做功的代數(shù)和為零．