Question

4．在光滑水平面內(nèi)建立xoy坐標(biāo)系，質(zhì)量為m=4kg的質(zhì)點(diǎn)正沿y軸正方向勻速運(yùn)動(dòng)，其速度為v₀=2m/s．如圖所示，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O處時(shí)開(kāi)始受到沿+x方向的恒力F作用．
（1）若要使質(zhì)點(diǎn)能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（4，2）的p點(diǎn)，則恒力F大小為多大？
（2）設(shè)質(zhì)點(diǎn)自O(shè)點(diǎn)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后到達(dá)某點(diǎn)q，其坐標(biāo)為（x₀，y₀），若作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在q點(diǎn)的切線，則切線反向延長(zhǎng)線與y軸相交，交點(diǎn)縱坐標(biāo)一定為$\frac{{y}_{0}}{2}$，試證明．

Answer 1

分析 （1）質(zhì)點(diǎn)在y軸正方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在x軸方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)具有等時(shí)性，抓住水平位移和豎直位移的關(guān)系求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．再結(jié)合牛頓第二定律求出恒力F的大小．
（2）將小球運(yùn)動(dòng)沿著xy方向正交分解，求出夾角的大小，從而證明交點(diǎn)縱坐標(biāo)一定為．

解答 解：（1）小球在xoy坐標(biāo)系內(nèi)，做類平拋運(yùn)動(dòng)，若要小球經(jīng)過(guò)p點(diǎn)，則必須滿足：
在x方向：$\frac{1}{2}$at²=4…①
在y方向：2t=2…②
代入數(shù)據(jù)，得：a=8m/s²…③
由牛頓第二定律得：F=ma…④
代入數(shù)據(jù)得：F=4×8=32N…⑤
（2）當(dāng)任意時(shí)間t時(shí)，由類平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得：y₀=v₀t…⑥
x₀=$\frac{1}{2}$v_xt…⑦
所以：若作質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在q點(diǎn)的切線，即速度方向與+y方向的夾角為：$tanθ=\frac{{v}_{x}}{{v}_{0}}=\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}=\frac{{x}_{0}}{\frac{1}{2}{y}_{0}}$
可知做質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡在q點(diǎn)的切線，則切線反向延長(zhǎng)線與y軸相交，交點(diǎn)縱坐標(biāo)一定為$\frac{{y}_{0}}{2}$．
答：（1）使小球能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)為（4，2）的p點(diǎn)，則恒力是32N；
（2）證明略．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵要要將小球的運(yùn)動(dòng)沿著x、y方向正交分解，x方向做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，然后根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式列式求解．