Question

2．如圖甲所示，電子槍中熾熱的金屬絲可以發(fā)射初速度可視為零的電子，電子經(jīng)小孔進(jìn)入ab、cd兩板間的加速電場(chǎng)，兩板間的電壓為U₀，電子經(jīng)加速后由cd板上的小孔水平進(jìn)入水平放置的金屬板AB、CD間，AB、CD兩金屬板關(guān)于ab、cd兩板上小孔的連線對(duì)稱，AB、CD兩板的長(zhǎng)度和兩板間的距離均為l，距金屬板AB、CD右邊緣l處有一足夠長(zhǎng)的熒光屏，已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e、不計(jì)電子重力和電子將的相互作用，由于電子穿過(guò)板間的時(shí)間極短，可以認(rèn)為每個(gè)電子在板間運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩板間的電壓恒定．

（1）求電子到達(dá)cd板時(shí)的速度大小v；
（2）若AB、CD兩板間電壓u隨時(shí)間t變化的關(guān)系如圖乙所示，單位時(shí)間從cd板射出的電子個(gè)數(shù)為N，電子打在熒光屏上形成一條亮線．
①求一個(gè)周期內(nèi)電子能打到屏上偏轉(zhuǎn)電壓的范圍；
②在①問(wèn)電壓范圍內(nèi)試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)是否相同，若相同，求一個(gè)周期內(nèi)打到單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)n；若不相同，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明電子在熒光屏上的分別規(guī)律．

Answer 1

分析 （1）電子在ab、cd兩板間直線加速，根據(jù)動(dòng)能定理列式求解末速度；
（2）①考慮臨界情況，即電子離開偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)的側(cè)移量為$\frac{l}{2}$，采用正交分解法，結(jié)合分運(yùn)動(dòng)知識(shí)列式分析；
②電子出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的反向延長(zhǎng)線過(guò)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的水平分位移的中點(diǎn)，可以等效為從位移中點(diǎn)射出，據(jù)此進(jìn)行分析．

解答 解：（1）電子在ab、cd兩板間的加速電場(chǎng)加速，根據(jù)動(dòng)能定理，有：
eU₀=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：
v=$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）①設(shè)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t₁，偏轉(zhuǎn)電壓為u，垂直電場(chǎng)方向，有：l=vt₁，
平行電場(chǎng)方向，有：y=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
此過(guò)程中電子的加速度大小為a=$\frac{eu}{ml}$，
解得：y=$\frac{ul}{4{U}_{0}}$；
當(dāng)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中的偏移量y=$\frac{l}{2}$時(shí)，由y=$\frac{ul}{4{U}_{0}}$，解得：u=2U₀；
當(dāng)偏轉(zhuǎn)電壓在-2U₀～2U₀間時(shí)，射入的電子可打在熒光屏上；
②電子出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)后做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度的反向延長(zhǎng)線過(guò)電子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的水平分位移的中點(diǎn)，如圖所示：

由相似三角形可知：$\frac{y'}{y}=\frac{{\frac{l}{2}+l}}{{\frac{l}{2}}}$
解得：$y'=\frac{3l}{{4{U_0}}}u$
對(duì)于有電子打在熒光屏上的時(shí)間內(nèi)，在任意時(shí)間△t時(shí)間內(nèi)電壓u的變化量△u相等，打在熒光屏上的電子形成的亮線長(zhǎng)度為$△y=\frac{3l}{4{U}_{0}}u$；
所以，在任意時(shí)間△t內(nèi)，亮線長(zhǎng)度△y相等；
由題意可知，在任意△t時(shí)間內(nèi)，射出的電子個(gè)數(shù)是相等的，也就是說(shuō)，在任意△t時(shí)間內(nèi)，射出的電子都分布在相等的亮線長(zhǎng)度△y范圍內(nèi)，因此，在一個(gè)周期內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)相同；
一個(gè)周期內(nèi)電子能達(dá)到熒光屏上的時(shí)間t=$\frac{2}{3}T=\frac{4{t}_{0}}{3}$；
所以，一個(gè)周期內(nèi)打在熒光屏上的電子數(shù)為：$Nt=\frac{4N{t}_{0}}{3}$；
電子打在熒光屏上的最大側(cè)移量${y_m}=\frac{3l}{2}$；
亮線長(zhǎng)度l=2y_m=3l；
所以，一個(gè)周期內(nèi)，單位長(zhǎng)度亮線上的電子數(shù)為：n=$\frac{Nt}{L}=\frac{4N{t}_{0}}{9l}$；
答：（1）電子到達(dá)cd板時(shí)的速度大小v為$\sqrt{\frac{2e{U}_{0}}{m}}$；
（2）①一個(gè)周期內(nèi)電子能打到屏上偏轉(zhuǎn)電壓的范圍為-2U₀～2U₀；
②在①問(wèn)電壓范圍內(nèi)單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)是相同的，一個(gè)周期內(nèi)打到單位長(zhǎng)度亮線上的電子個(gè)數(shù)n為$\frac{4N{t}_{0}}{9l}$．

點(diǎn)評(píng) 本題類似示波管的工作原理，考查電子的電加速和電偏轉(zhuǎn)過(guò)程，關(guān)鍵是采用正交分解法進(jìn)行分析，不難．