Question

（2011?東城區(qū)模擬）在游樂節(jié)目中，選手需借助懸掛在高處的繩飛躍到水面的平臺(tái)上，小明和小陽觀看后對(duì)此進(jìn)行了討論．如圖所示，他們將選手簡化為質(zhì)量為m=60㎏的質(zhì)點(diǎn)，選手抓住繩子由靜止開始擺動(dòng)，此時(shí)繩與豎直方向夾角α=53°，繩子的懸掛點(diǎn)O距水面的高度為H=3m，不考慮空氣阻力和繩子的質(zhì)量，平臺(tái)露出水面的高度不計(jì)，水足夠深．取重力加速度g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6
（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩子拉力的大小
（2）繩子長L=2m，選手?jǐn)[到最高點(diǎn)松手落入水中．設(shè)水對(duì)選手的平均浮力f₁=800N，平均阻力f₂=700N，求選手落入水中的深度d．
（3）若選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，小明認(rèn)為繩越長，在平臺(tái)上的落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)；小陽卻認(rèn)為繩越短，落點(diǎn)距岸邊越遠(yuǎn)．請(qǐng)通過推算說明你的觀點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)的速度，根據(jù)牛頓第二定律求出繩子拉力的大�。�
（2）選手?jǐn)[到最高點(diǎn)，速度為零，松手向下先做自由落體運(yùn)動(dòng)，進(jìn)入水中做減速運(yùn)動(dòng)，根據(jù)動(dòng)能定理求出選手落入水中的深度d．
（3）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)松手，做平拋運(yùn)動(dòng)，繩子越長，到達(dá)最短點(diǎn)的速度越大，但是平拋運(yùn)動(dòng)的高度減小，運(yùn)動(dòng)時(shí)間減少．根據(jù)數(shù)學(xué)求極值的方法求出最大的水平位移，從而得知繩子多長時(shí)，落點(diǎn)距岸邊最遠(yuǎn)．

解答：解：（1）機(jī)械能守恒mgL（1-cosa）=

mv2

2

圓周運(yùn)動(dòng) F-mg=

mv2

L

F=（3-2cosa）mg=1080N
根據(jù)牛頓第三定律得，F(xiàn)′=F=1080N
（2）根據(jù)動(dòng)能定理得，
mg（H-Lcosa+d）-（f₁+f₂）d=0
d=

mg(H-Lcosa)

f1+f2-mg

=1.2m
（3）選手從最低點(diǎn)作平拋運(yùn)動(dòng)x=vt 
 H-L=

gt2

2

  
mgL（1-cosa）=

mv2

2

解得X=2

l(H-l)(1-cosa)

當(dāng)l=

H

2

時(shí)X有最大值，L=1.5m時(shí)落點(diǎn)距岸邊最遠(yuǎn)，兩人看法都不對(duì)．
答：（1）選手?jǐn)[到最低點(diǎn)時(shí)對(duì)繩子拉力的大小為1080N．
（2）選手落入水中的深度d為1.2m．
（3）兩人的觀點(diǎn)都錯(cuò)誤，當(dāng)L=1.5m時(shí)落點(diǎn)距岸邊最遠(yuǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合運(yùn)用了動(dòng)能定理，機(jī)械能守恒定律和牛頓第二定律，綜合性較強(qiáng)，但是難度不是太大．