Question

如圖（a）所示，兩根足夠長(zhǎng)的平行光滑導(dǎo)軌MN、PQ相距為L(zhǎng)，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為α，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)導(dǎo)軌放在垂直導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．長(zhǎng)為L(zhǎng)的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導(dǎo)軌上，且始終與導(dǎo)軌接觸良好，金屬棒的質(zhì)量為m．兩金屬導(dǎo)軌的上端與右端的電路連接，R是阻值可調(diào)的電阻箱，其最大值遠(yuǎn)大于金屬棒的電阻值．將金屬棒由靜止釋放，當(dāng)R取不同的值時(shí)，金屬棒沿導(dǎo)軌下滑會(huì)達(dá)到不同的最大速度v_m，其對(duì)應(yīng)的關(guān)系圖象如圖（b）所示，圖中v₀、R₀為已知，重力加速度取g．請(qǐng)完成下列問題：
（1）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為多少？
（2）金屬棒的電阻值為多少？
（3）當(dāng)R=R₀時(shí)，由靜止釋放金屬棒，在金屬棒加速運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，通過R的電量為q，求在這個(gè)過程中R上產(chǎn)生的熱量為多少？
（4）R取不同值時(shí)，R的電功率的最大值不同．有同學(xué)認(rèn)為，當(dāng)R=R₀時(shí)R的功率會(huì)達(dá)到最大．如果你認(rèn)為這種說法是正確的，請(qǐng)予以證明，并求出R的最大功率；如果你認(rèn)為這種說法是錯(cuò)誤的，請(qǐng)通過定量計(jì)算說明理由．

Answer 1

分析：（1）金屬棒下滑達(dá)到最大速度時(shí)做勻速運(yùn)動(dòng)，由平衡條件和安培力求得B．
（2）圖象橫軸截距大小等于R₀．
（3）由q=

△Φ

R+r

求出金屬棒下滑的距離S，根據(jù)能量守恒定律求出熱量．
（4）推導(dǎo)功率的表達(dá)式判斷正誤．

解答：解：設(shè)金屬棒ab的電阻為r
（1）由F_A=BIL，I=

E

R+r

，E=BLvm，得到F_A=

B2L2vm

R+r

 
   由力平衡得 F_A=mgsinα
     得v_m=

mg(R+r)sinα

B2L2

    由圖線斜率為

v0

R0

=

mgsinα

B2L2

    可求得 B=

mgR0sinα L2v0

 
（2）由圖線在橫軸上的截距可求得r=R₀
（3）當(dāng)R=R₀時(shí)，v_m=2v₀
  由q=I△t=

△Φ

△t(R+R0)

=

△Φ

2R0

=

BLs

2R0

     可得s=

2qR0

BL

   Q=

1

2

（mgsinαs-

1

2

mv_m²）=

1

2

mgsinα

2qR0

BL

-mv₀²=q

mgR0v0sinα

-mv₀²
（4）這種說法錯(cuò)誤．
    R的最大值電功率：P=I²R=

m2g2sin2α

B2L2

R
    因?yàn)?span id="kavqoji" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

m2g2sin2α

B2L2

是恒量，故P∝R
  所以，P隨R增大而增大，無最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)的綜合題，常常用到兩個(gè)經(jīng)驗(yàn)公式：安培力F_安=

B2L2v

R+r

和感應(yīng)電量q=n

△Φ

R+r

．