Question

13．一水平淺色足夠長傳送帶，t=0時(shí)刻由靜止開始以恒定的加速度a₀向右運(yùn)動，當(dāng)其速度達(dá)到V₀后，便以此速度做勻速運(yùn)動，t=0時(shí)刻，一質(zhì)量為m的煤塊（可視為質(zhì)點(diǎn)）在大小為V₀的初速度水平向左拋到傳送帶上中間某處，經(jīng)過一段時(shí)間，煤塊在傳送帶上留下一段黑色的痕跡后，煤塊相對傳送帶不再滑動，已知煤塊與傳送帶之間動摩擦因數(shù)為μ，求：
（1）取地面為參考系，煤塊水平向左運(yùn)動的最大位移；
（2）從煤塊拋上傳送帶到煤塊與傳送帶剛好相對靜止的過程中，傳送帶對煤塊做的功W；
（3）黑色痕跡的長度．

Answer 1

分析 （1）煤塊在滑動摩擦力作用下向左做勻減速運(yùn)動，速度為零時(shí)到達(dá)最左端，由動能定理求煤塊水平向左運(yùn)動的最大位移．
（2）煤塊與傳送帶剛好相對靜止時(shí)兩者速度相同，由動能定理求傳送帶對煤塊做的功W．
（3）由牛頓第二定律和運(yùn)動學(xué)公式速度公式、位移公式結(jié)合求出煤塊與傳送帶的相對位移，即為黑色痕跡的長度．

解答 解：（1）設(shè)煤塊水平向左運(yùn)動的最大位移為x．
根據(jù)動能定理得
-μmgx=0-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 x=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
（2）、（3）在煤塊向左運(yùn)動的過程中：
煤塊向左勻減速運(yùn)動的加速度大小為 a=$\frac{μmg}{m}$=μ
向左運(yùn)動的時(shí)間為 t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$
若a₀t₁≤v₀，則煤塊與傳送帶間的相對位移大小為△x₁=x+$\frac{1}{2}{a}_{0}{t}_{1}^{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}（μg+{a}_{0}）}{2{μ}^{2}{g}^{2}}$
若a₀t₁＞v₀，煤塊與傳送帶間的相對位移大小為△x₂=x+[$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$+v₀（t₁-$\frac{{v}_{0}}{{a}_{0}}$）]=$\frac{3{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$；
在煤塊向右運(yùn)動的過程中：
設(shè)煤塊向右加速經(jīng)歷時(shí)間t₂后速度與傳送帶相同．則有
  at₂=a₀（t₁+t₂）
可能有兩種情況：
1、若a₀t₁＞v₀，煤塊向右運(yùn)動時(shí)傳送帶已經(jīng)以速度v₀勻速運(yùn)動，at₂=v₀，解得 t₂=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{{v}_{0}}{μg}$，
煤塊與傳送帶間的相對位移大小為△x₃=v₀t₂-$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
故黑色痕跡的長度為△x_Ⅰ=△x₂+△x₃=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$；
傳送帶對煤塊做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=0
2、若a₀t₁≤v₀，又有兩種情況：
①煤塊與傳送帶相對靜止時(shí)，煤塊的速度小于v₀，由 at₂=a₀（t₁+t₂）得：
   t₂=$\frac{{a}_{0}{v}_{0}}{μg（μg-{a}_{0}）}$
傳送帶與煤塊共同速度 v=$\frac{{a}_{0}{v}_{0}}{μg-{a}_{0}}$
煤塊與傳送帶間的相對位移大小為△x₅=v₀t₂-$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{a}_{0}{v}_{0}^{2}}{2（μg-{a}_{0}）}$
故黑色痕跡的長度為△x_Ⅱ=△x₁+△x₅=$\frac{{v}_{0}^{2}（μg+{a}_{0}）}{2{μ}^{2}{g}^{2}}$+（$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{a}_{0}{v}_{0}^{2}}{2（μg-{a}_{0}）}$）
傳送帶對煤塊做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{m{v}_{0}^{2}（2μg{a}_{0}-{μ}^{2}{g}^{2}）}{2（μg-{a}_{0}）^{2}}$
②煤塊與傳送帶相對靜止時(shí)，煤塊的速度等于v₀，則
煤塊與傳送帶間的相對位移大小為△x₃=v₀t₂-$\frac{{v}_{0}}{2}{t}_{2}$=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$
故黑色痕跡的長度為△x_Ⅲ=△x₁+△x₃=$\frac{2{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$；
傳送帶對煤塊做的功 W=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=0
答：
（1）取地面為參考系，煤塊水平向左運(yùn)動的最大位移為$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$；
（2）從煤塊拋上傳送帶到煤塊與傳送帶剛好相對靜止的過程中，傳送帶對煤塊做的功W為0或$\frac{m{v}_{0}^{2}（2μg{a}_{0}-{μ}^{2}{g}^{2}）}{2（μg-{a}_{0}）^{2}}$；
（3）黑色痕跡的長度可能為$\frac{2{v}_{0}^{2}}{μg}$-$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$或[$\frac{{v}_{0}^{2}（μg+{a}_{0}）}{2{μ}^{2}{g}^{2}}$+（$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$-$\frac{{a}_{0}{v}_{0}^{2}}{2（μg-{a}_{0}）}$）]．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵要煤塊可能的運(yùn)動情況，知道黑色痕跡的長度等于煤塊與傳送帶間的相對位移的大小，由動能定理和牛頓運(yùn)動定律、運(yùn)動學(xué)公式結(jié)合研究．