Question

如圖所示，直線MN下方無(wú)磁場(chǎng)，上方空間存在兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其分界線是半徑為R的半圓，兩側(cè)的磁場(chǎng)方向相反且垂直于紙面，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小都為B．現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子從P點(diǎn)沿半徑方向向左側(cè)射出，最終打到Q點(diǎn)，不計(jì)粒子的重力．求：
（1）粒子從P點(diǎn)到Q點(diǎn)的最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間及其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)速率；
（2）符合條件的所有粒子的運(yùn)動(dòng)時(shí)間及其對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)速率．

Answer 1

分析：帶電粒子在磁場(chǎng)中只受洛倫茲力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由題意可知：粒子在垂直向里的磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)

3

4

圓弧，在垂直向外的磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)

1

4

圓弧，對(duì)應(yīng)的時(shí)間最短．從而根據(jù)已知長(zhǎng)度來(lái)求出運(yùn)動(dòng)速率．由于磁場(chǎng)大小均相同，且洛倫茲力又不做功，因此相同的速率下，它們的半徑均相同．雖不同的運(yùn)動(dòng)速率，但周期均相同，所以由題意來(lái)確定所有粒子的運(yùn)動(dòng)類(lèi)型，從而求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間及運(yùn)動(dòng)速率．

解答：解：（1）粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將磁場(chǎng)邊界分成2等分時(shí)，對(duì)應(yīng)有最短運(yùn)動(dòng)時(shí)間
由幾何知識(shí)可得：粒子運(yùn)動(dòng)的半徑r=R
又Bv₀q=m

v 2 0

R

得v₀=

BqR

m

由對(duì)稱(chēng)性可得，粒子剛好在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周t=

2πm

Bq

（2）設(shè)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡將磁場(chǎng)邊界分成n等分（n=2，3，4…）
 由幾何知識(shí)得 θ=

π

2n

，r=Rtanθ（n=2，3，4…） 
粒子的速率為v₀=

BRq

m

tan

π

2n

（n=2，3，4…）
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)圈，t=

π

2

T=n

π2m

Bq

（n=2，4，6…）
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，t為周期的整數(shù)倍加上第一段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，即
t=

n-1

2

T+

π+ π n

2π

T=

(n2+1)πm

nBq

（n=3，5，7…）

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)動(dòng)軌跡的特殊性研究到一般性探究，這是分析問(wèn)題的一種方法．同時(shí)要利用圓的特性與物理規(guī)律相結(jié)合．