Question

7．如圖所示，質量m=50kg的運動員（可視為質點），在河岸上A點緊握一根長L=5.0m的不可伸長的輕繩，輕繩另一端系在距離水面高H=10.0m的O點，此時輕繩與豎直方向的夾角為θ=37°，C點是位于O點正下方水面上的一點，距離C點x=4.8m處的D點有一只救生圈，O、A、C、D各點均在同一豎直面內．若運動員抓緊繩端點，從臺階上A點沿垂直于輕繩斜向下以一定初速度v₀躍出，當擺到O點正下方的B點時松開手，最終恰能落在救生圈內．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²）求：
（1）運動員經過B點時速度的大小v_B；
（2）運動員從臺階上A點躍出時的動能E_k；
（3）若初速度v₀不一定，且使運動員最終仍能落在救生圈內，則救生圈離C點距離x將隨運動員離開A點時初速度υ₀的變化而變化．試寫出x與v₀的函數．

Answer 1

分析 （1）運動員從B點到D點做平拋運動，根據平拋運動的規(guī)律可以求得在B點的速度的大小；
（2）從A點到B點的過程中人的機械能守恒，根據機械能守恒定律可以求得人的初動能的大��；
（3）人離開B點之后做的是平拋運動，所以水平方向是勻速直線運動，由動能定理可以表示出初速度的大小，從而可以求得x和初速度v₀的關系．

解答 解：（1）運動員從B點到D點做平拋運動，則有
  $H-L=\frac{1}{2}g{t^2}$
  x=υ_Bt
由①②式代入數據解得 υ_B=4.8m/s
（2）運動員從A點到B點的過程中，由機械能守恒定律得：
mgh_AB=$\frac{1}{2}m{υ_B}^2$-E_k  其中 h_AB=L（1-cosθ）
由③④式代入數據解得 E_k=76J
（3）設運動員經O點正下方時的速度為υ′_B，則
  $\frac{1}{2}m{υ'_B}^2$-$\frac{1}{2}m{υ_0}^2$=mg（H-Lcos37°-h）      
  x=${υ'_B}•\sqrt{\frac{2h}{g}}$
解得：x²-$υ_0^2$=20
答：
（1）運動員經過B點時速度的大小v_B是4.8m/s．
（2）運動員從臺階上A點躍出時的動能E_k是76J．
（3）x與v₀的函數是x²-$υ_0^2$=20．

點評 本題是兩個過程的問題，要把握每個過程和狀態(tài)的規(guī)律，運用平拋運動的規(guī)律、動能定理、牛頓運動定律結合進行研究．