Question

如圖，光滑的平行金屬導(dǎo)軌水平放置，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，左側(cè)接一阻值為R的電阻．矩形區(qū)域abfe內(nèi)存在垂直軌道平面向下的有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．導(dǎo)軌上ac段和bd段單位長(zhǎng)度的電阻為r₀，導(dǎo)軌其余部分電阻不計(jì)，且ac=bd=x₁．一質(zhì)量為m，電阻不計(jì)的金屬棒MN置于導(dǎo)軌上，與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．金屬棒受到一個(gè)水平拉力作用，從磁場(chǎng)的左邊界由靜止開始作勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為a．棒運(yùn)動(dòng)到cd處撤去外力，此后棒的速度v_t隨位移x的變化規(guī)律滿足vt=v0-

B2L2

mR總

x，且棒在運(yùn)動(dòng)到磁場(chǎng)右邊界ef處恰好靜止．求：
（1）用法拉第電磁感應(yīng)定律導(dǎo)出本題中金屬棒在區(qū)域abdc內(nèi)切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間t變化的表達(dá)式；
（2）df的長(zhǎng)度x₂應(yīng)滿足什么條件；
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中流過電阻R的最大電流值和最小電流值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律的公式?_感=

△φ

△t

推到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間t變化的表達(dá)式；
（2）先推導(dǎo)出總電阻的表達(dá)式，然后根據(jù)vt=v0-

B2L2

mR總

x，得出度x₂應(yīng)滿足什么條件；
（3）在df段：速度減小，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小且回路總電阻恒定，所以感應(yīng)電流減小，當(dāng)速度減為零時(shí)，感應(yīng)電流也為零，即電流最小值為零；或當(dāng)t=0時(shí)電流最小值為零．

解答：解：（1）導(dǎo)體MN向右切割磁感線運(yùn)動(dòng)的速度v=at，在極短時(shí)間△t內(nèi)導(dǎo)體MN移動(dòng)的距離是v△t，穿過回路的磁通量的變化量為：
△φ=B△S=BL（V△T），
?_感=

△φ

△t

=

BL(v．△t)

△t

=BLv=BLat
（2）金屬棒到達(dá)cd時(shí)的速度為：
v₁=

2ax1

R_總=R+2r₀x₁，
則v_t=v₀-

B2L2

MR總

x，
得：x₂=

2ax ?m?(R+2r0?x1)

B2L2

；
（3）在df段：速度減小，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)減小且回路總電阻恒定，所以感應(yīng)電流減小，當(dāng)速度減為零時(shí)，感應(yīng)電流也為零，即電流最小值為零；或當(dāng)t=0時(shí)電流最小值為零；
在bd段：
I=

BLat

R+2v0. 1 2 at2

=

BLa

R t +r0．a(chǎn)t

．
最大電流值討論：
①當(dāng)滿足

R

t

=r₀．a(chǎn)t，即：t=

R r0a

=且

R r0a

≤

2x1 a

（在bd段內(nèi)能達(dá)到最大電流），
I_max=

BL

2

a Rv0

；
②當(dāng)t=

R r0a

＞

2x1 a

時(shí)，當(dāng)導(dǎo)體棒加速運(yùn)動(dòng)到cd處時(shí)，I_mex=

BL 2ax1

R+2v0．x1

．
答：（1）用法拉第電磁感應(yīng)定律導(dǎo)出本題中金屬棒在區(qū)域abdc內(nèi)切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間t變化的表達(dá)式為BLat；
（2）df的長(zhǎng)度x₂應(yīng)滿足的條件為x₂=

2ax ?m?(R+2r0?x1)

B2L2

；
（3）金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)滿足

R

t

=r₀．a(chǎn)t，I_max=

BL

2

a Rv0

；當(dāng)t=

R r0a

＞

2x1 a

時(shí)，I_mex=

BL 2ax1

R+2v0．x1

．電流最小值為0．

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)物理規(guī)律找出物理量的關(guān)系，通過已知量得出未知量．要善于對(duì)物體過程分析和進(jìn)行受力分析，法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式解決問題．