Question

17．如圖所示，將直徑為 2R的半圓形導(dǎo)軌固定 在豎直面內(nèi)的A、B兩 點(diǎn)，直徑AB與豎直方 向的夾角為60°．在 導(dǎo)軌上套一質(zhì)量為m的小圓環(huán)，原長為2R、勁度系數(shù)k=$\frac{mg}{3R}$的彈性輕繩穿過圓環(huán)且固定在A、B兩點(diǎn)．知彈性輕繩滿足胡克定律，且形變量為x時(shí)具有彈性勢能E_P=$\frac{1}{2}$kx²，重力加速度為g，不計(jì)一切摩擦．將圓環(huán)由A點(diǎn)正下方的C 點(diǎn)靜止釋放，當(dāng)圓環(huán)運(yùn)動(dòng)到導(dǎo)軌的最低點(diǎn)D 點(diǎn)時(shí)，求：
 （1）圓環(huán)的速率v； 
（2）導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力F的大小？

Answer 1

分析 （1）從C到D過程，由機(jī)械能守恒定律可以求出圓環(huán)的速度；
（2）圓環(huán)做圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可以求出在D點(diǎn)軌道對圓環(huán)的作用力．

解答 解：（1）如圖所示，由幾何知識得，圓環(huán)在C點(diǎn)、D點(diǎn)時(shí)，彈性繩形變量相同，彈性勢能相等．
圓環(huán)從C到D過程中，由機(jī)械能守恒定律得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由幾何關(guān)系可知：h=$\frac{R}{2}$，
解得v=$\sqrt{gR}$
（2）圓環(huán)在D點(diǎn)受力如圖，彈性繩的彈力：
f=kx，其中：x=$（\sqrt{3}-1）R$
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：
F+fcos60°+fsin60°-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得F=$\frac{4mg}{3}$．
答：（1）圓環(huán)的速率v為$\sqrt{gR}$；
（2）導(dǎo)軌對圓環(huán)的作用力F的大小為$\frac{4mg}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了求圓環(huán)的速率、軌道對圓環(huán)的作用力，應(yīng)用機(jī)械能守恒定律與牛頓第二定律即可正確解題；本題的難點(diǎn)，也是本題解題的關(guān)鍵是：應(yīng)用數(shù)學(xué)知識氣促C、D兩點(diǎn)間的高度差、求出彈性繩的形變量．