Question

中國首個月球探測計(jì)劃“嫦娥工程”將分三個階段實(shí)施：首先在2007年發(fā)射環(huán)繞月球的衛(wèi)星“嫦娥一號”，深入了解月球；到2012年發(fā)射月球探測器，在月球上進(jìn)行實(shí)地探測；到2017年送機(jī)器人上月球，建立觀測站，實(shí)地實(shí)驗(yàn)采樣并返回地球，為載人登月及月球基地選址做準(zhǔn)備．設(shè)想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船登陸月球，在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月球做勻速圓周運(yùn)動，飛船上備有以下實(shí)驗(yàn)儀器：A．計(jì)時表一只，B．彈簧秤一把，C．已知質(zhì)量為m的物體一個，D．天平一只（附砝碼一盒）．宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用的時間為t．飛船在月球上著陸后，宇航員利用所帶的儀器又進(jìn)行了第二次測量，并利用測量結(jié)果計(jì)算出了月球的半徑和質(zhì)量．若已知萬有引力常量為G，則：
（1）說明宇航員是如何進(jìn)行第二次測量的？
（2）利用宇航員測量的量（用符號表示）來求月球的半徑和質(zhì)量．

Answer 1

分析：1、宇航員利用所帶的儀器又進(jìn)行了第二次測量，是用用彈簧秤豎直懸掛物體m，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，這個值為物體在月球上所受重力的大小，這樣可以求出月球表面的重力加速度．
2、在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力G

Mm′

R2

=m′g月，得g月=

GM

R2

，由萬有引力提供物體做圓周運(yùn)動的向心力可知G

Mm″

R2

=m″R

4π2

T2

，結(jié)合測得的重力加速度，以及周期T=

t

N

，就可計(jì)算出月球的半徑R和質(zhì)量M．

解答：解：（1）宇航員在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體m，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）在月球上忽略月球的自轉(zhuǎn)可知  mg_月=F，得g月=

F

m

．
因?yàn)樵谠虑虮砻娴奈矬w受到的重力等于萬有引力G

Mm′

R2

=m′g月，得g月=

GM

R2

所以

GM

R2

=

F

m

．
物體在繞月球運(yùn)行時，因?yàn)槭强拷�月球表面，故近似認(rèn)為其軌道半徑為月球的半徑R，由萬有引力提供物體做圓周運(yùn)動的向心力可知G

Mm″

R2

=m″R

4π2

T2

所以

F

m

=R

4π2

T2

得R=

FT2

4π2m

又  T=

t

N

，
解得R=

Ft2

4π2N2m

．

因?yàn)?nbsp;

GM

R2

=

F

m

 
所以M=

FR2

Gm

，把R的值代入得
M=

F3t4

16π4GN4m3

答：（1）宇航員在月球上用彈簧秤豎直懸掛物體，靜止時讀出彈簧秤的讀數(shù)F，即為物體在月球上所受重力的大�。�
（2）月球的半徑為

Ft2

4π2N2m

，月球的質(zhì)量為

F3t4

16π4GN4m3

．

點(diǎn)評：解決有關(guān)天體運(yùn)動的問題，一定要知道兩個關(guān)系；1、星球表面的物體受到的重力等于萬有引力；1、某一天體繞另一天體做圓周運(yùn)動所需要的向心力由萬有引力提供．