Question

2．如圖所示的xOy平面上，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的四分之一圓形區(qū)域MON內(nèi)分布著磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=2.0×10^-3T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中M、N點(diǎn)距坐標(biāo)原點(diǎn)O為$\sqrt{2}$m，磁場(chǎng)方向垂直紙面向里．坐標(biāo)原點(diǎn)O處有一個(gè)粒子源，不斷地向xOy平面發(fā)射比荷為$\frac{q}{m}$=5×10⁷ C/kg的帶正電粒子，它們的速度大小都是v=1×10⁵m/s，與x軸正方向的夾角分布在0～90°范圍內(nèi)．
（1）求平行于x軸射入的粒子，出射點(diǎn)的位置及在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）求恰好從M點(diǎn)射出的粒子，從粒子源O發(fā)射時(shí)的速度與x軸正向的夾角；
（3）若粒子進(jìn)入磁場(chǎng)前經(jīng)加速使其動(dòng)能增加為原來(lái)的2倍，仍從O點(diǎn)垂直磁場(chǎng)方向射入第一象限，求粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t與射入時(shí)與x軸正向的夾角θ的關(guān)系．

Answer 1

分析 （1）粒子平行于x軸射入，作出運(yùn)動(dòng)軌跡，根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得半徑，再由幾何關(guān)系可求得射出時(shí)的位置和運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）根據(jù)題意得出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，由幾何關(guān)系可求出恰好從M點(diǎn)射出粒子的速度夾角；
（3）由洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得粒子半徑，作出運(yùn)動(dòng)軌跡圖，再由幾何關(guān)系可求得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t與射入時(shí)與x軸正向的夾角θ的關(guān)系．

解答 解：（1）平行于x軸射入的粒子，軌跡如圖所示，設(shè)出射點(diǎn)為P，
由$qBv=m\frac{v^2}{R}$得：$R=\frac{mv}{qB}=\frac{{{{10}^5}}}{{5×{{10}^7}×2×{{10}^{-3}}}}m=1m$
有幾何關(guān)系可知：o₁p=o₁o=1m，$op=\sqrt{2}m$，
則△o₁op為等腰直角三角形x=y=1m，$α=\frac{π}{2}$；
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（1m，1m），
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：$t=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{π}{2}×{10^{-5}}s$
（2）由幾何關(guān)系可知：o₂M=o₂o=1m，$oM=\sqrt{2}m$，
△o₂oM為等腰直角三角形$∠{o_2}oM={45^0}$，

則$θ=∠{o_2}oM={45^0}$
（3）由$R=\frac{mv}{qB}$，${E_K}=\frac{1}{2}m{v^2}$可知：
$R=\frac{{\sqrt{2m{E_K}}}}{qB}$，$\frac{R'}{R}=\sqrt{\frac{{{{E'}_K}}}{E_K}}=\sqrt{2}$，
解得：
$R'=\sqrt{2}m$

若粒子從M點(diǎn)出射時(shí)oM=R'，△o₃oM為正三角形，圓心角$α=\frac{π}{3}$，出射角$θ=\frac{π}{3}$；
若粒子從弧MN上射出時(shí)，弦長(zhǎng)均為$\sqrt{2}m$，圓心角均為$α=\frac{π}{3}$，運(yùn)動(dòng)時(shí)間均為：$t=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=\frac{π}{3}×{10^{-5}}s$，
故$0≤θ≤\frac{π}{3}$時(shí)：$t=\frac{π}{3}×{10^{-5}}s$
若粒子從邊OM出射時(shí)，如圖，$α=2（{\frac{π}{2}-θ}）=π-2θ$，

運(yùn)動(dòng)時(shí)間$t=\frac{α}{2π}•\frac{2πm}{qB}=（π-2θ）×{10^{-5}}s$，
故$\frac{π}{3}＜θ≤\frac{π}{2}$時(shí)：t=（π-2θ）×10^-5s
答：（1）平行于x軸射入的粒子，出射點(diǎn)的位置（1m，1m），在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}$s；
（2）恰好從M點(diǎn)射出的粒子，從粒子源O發(fā)射時(shí)的速度與x軸正向的夾角45°；
（3）粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t與射入時(shí)與x軸正向的夾角θ的關(guān)系為：$0≤θ≤\frac{π}{3}$時(shí)：$t=\frac{π}{3}×{10^{-5}}s$；$\frac{π}{3}＜θ≤\frac{π}{2}$時(shí)：t=（π-2θ）×10^-5s

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，要求能正確理解題意，明確洛倫茲力充當(dāng)向心力的正確應(yīng)用，注意幾何關(guān)系的應(yīng)用；此類問(wèn)題對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用能力要求較高，同時(shí)注意分析題意中給出的可能運(yùn)動(dòng)軌跡圖．