Question

所謂“水流星”表演時，就是用繩系著裝有水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，而水不灑落．如果在表演“水流星”節(jié)目時，栓杯子的繩長為L，其最大承受力是杯子和杯內(nèi)水的重量的8倍，要使繩子不斷裂，節(jié)目表演成功，杯子通過最高點時速度的取值范圍為多少？

Answer 1

杯子在最低點時，進行受力分析如圖


．
設(shè)杯子在最低點時的瞬時速度為v₂，杯子和杯內(nèi)的水的總質(zhì)量為m
∴T-mg=

mv2

L

 
即T=mg+

mv2

L

①
又0≤T≤8mg     ②
∴由①②式可以解得

1

2

mv2≤

7

2

mgL     ③
在杯子的整個運動過程中，只有重力做功（繩子的拉力的方向始終與運動的方向垂直，所以不做功，空氣阻力忽略不計），機械能守恒．
設(shè)杯子在最高點時的瞬時速度為u
∴

1

2

mu2+2mgL=

1

2

mv2    ④
由③④式可以解得u≤

3gL

又要使杯子和杯內(nèi)的水能在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運動，在最高點時，必須滿足至少杯子和杯內(nèi)的水的重力全部用來提供向心力．
即mg≤

mu2

L

∴u≥

gL

綜上所述

gL

≤u≤

3gL

答：杯子通過最高點時速度的取值范圍為

gL

≤u≤

3gL

．