Question

3．如圖所示，上表面光滑的水平平臺左端與豎直面內半徑為R的光滑半圓軌道相切，整體固定在水平地面上．平臺上放置兩個滑塊A、B，其質量m_A=m，m_B=2m，兩滑塊間夾有被壓縮的輕質彈簧，彈簧與滑塊不拴接．平臺右側有一小車，靜止在光滑的水平地面上，小車質量M=3m，車長L=2R，小車的上表面與平臺的臺面等高，滑塊與小車上表面間的動摩擦因數(shù)μ=0.2．解除彈簧約束，滑塊A、B在平臺上與彈簧分離，在同一水平直線上運動．滑塊A經C點恰好能夠通過半圓軌道的最高點D，滑塊B沖上小車．兩個滑塊均可視為質點，重力加速度為g．求：

（1）滑塊A在半圓軌道最低點C處時的速度大��；
（2）滑塊B沖上小車后與小車發(fā)生相對運動過程中小車的位移大小；
（3）若右側地面上有一高度略低于小車上表面的立樁（圖中未畫出），立樁與小車右端的距離為S，當小車右端運動到立樁處立即被牢固粘連．請討論滑塊B在小車上運動的過程中，克服摩擦力做的功W_f與S的關系．

Answer 1

分析 （1）滑塊A在半圓軌道運動，到達最高點時由重力提供向心力，滑塊A在半圓軌道運動的過程中，機械能守恒，根據(jù)機械能守恒定律列式，聯(lián)立方程即可求解；
（2）A、B在彈簧恢復原長的過程中動量守恒，根據(jù)動量守恒定律求出B的速度，假設滑塊可以在小車上與小車共速，由動量守恒求出共同速度，再求出滑塊從滑上小車到與小車共速時的位移，從而求出此過程中小車的位移，通過滑塊B相對小車的位移判斷假設是否成立；
（3）根據(jù)立樁與小車右端的距離與小車的位移的大小關系兩種情況進行討論，根據(jù)摩擦力做功以及功能關系求解．

解答 解：（1）滑塊A在半圓軌道運動，設到達最高點的速度為v_D，則有：$mg=m\frac{v_D^2}{R}$，
得：${v_D}=\sqrt{gR}$
滑塊A在半圓軌道運動的過程中，機械能守恒，所以有：$2mgR+\frac{1}{2}mv_D^2=\frac{1}{2}mv_A^2$
解得：${v_A}=\sqrt{5gR}$
（2）A、B在彈簧恢復原長的過程中動量守恒，設向左為正，則有：m_Av_A+（-m_Bv_B）=0
得：${v_B}=\frac{{\sqrt{5gR}}}{2}$
假設滑塊可以在小車上與小車共速，由動量守恒得：m_Bv_B=（m_B+M）v_共
得：${v_共}=\frac{2}{5}{v_B}=\frac{{\sqrt{5gR}}}{5}$
則滑塊從滑上小車到與小車共速時的位移為：${S_B}=\frac{v_共^2-v_B^2}{-2μg}=\frac{21R}{8}$
車的加速度${a_車}=\frac{2}{15}g$
此過程中小車的位移為：${S_車}=\frac{v_共^2}{{2{a_車}}}=\frac{3}{4}R$
滑塊B相對小車的位移為：$△S={S_B}-{S_車}=\frac{15R}{8}＜2R$滑塊B未掉下小車，假設合理，
滑塊B沖上小車后與小車發(fā)生相對運動過程中小車的位移${S_車}=\frac{3R}{4}$
（3）分析如下：
①當$S≥\frac{3}{4}R$時滑塊B從滑上小車到共速時克服摩擦力做功為：${W_{f1}}=2μmg{S_B}=\frac{21mgR}{20}$，
車與立樁相碰，靜止后，滑塊B做勻減速運動直到停下的位移為：${S}_{1}=\frac{{v}_{共}^{2}}{2μg}=\frac{R}{2}＞（L-△S）$滑塊會脫離小車．
小車與立樁相碰靜止后，滑塊繼續(xù)運動脫離小車過程中，滑塊克服摩擦力做功為${W_{f2}}=2μmg（L-△S）=\frac{mgR}{20}$，
所以，當$S≥\frac{3}{4}R$時，滑塊B克服摩擦力做功為${W_f}={W_{f1}}+{W_{f2}}=\frac{11mgR}{10}$，
②當$S＜\frac{3}{4}R$時，小車可能獲得的最大動能小于${E_k}=\frac{1}{2}×3mv_共^2=\frac{3}{10}mgR$，
滑塊B與車發(fā)生相對位移2R的過程中產生的內能為：${E_Q}=μ×2mg×2R=\frac{4}{5}mgR$，
兩者之和：$E={E_k}+{E_Q}=\frac{11}{10}mgR$，
滑塊B沖上小車時具有的初動能${E_k}=\frac{1}{2}×2mv_B^2=\frac{5}{4}mgR＞E$，
所以滑塊一定能滑離小車，則滑塊B克服摩擦力做功為：$W_f^{\;}=μ×2mg（L+S）=0.4mg（2R+S）$
答：（1）滑塊A在半圓軌道最低點C處時的速度大小為$\sqrt{5gR}$；
（2）滑塊B沖上小車后與小車發(fā)生相對運動過程中小車的位移大小為$\frac{3R}{4}$；
（3）當$S≥\frac{3}{4}R$時，滑塊B克服摩擦力做功為${W_f}={W_{f1}}+{W_{f2}}=\frac{11mgR}{10}$，當$S＜\frac{3}{4}R$時，滑塊B克服摩擦力做功為：$W_f^{\;}=μ×2mg（L+S）=0.4mg（2R+S）$．

點評 本題考查了機械能守恒定律、向心力公式、動量守恒定律、運動學基本公式的直接應用，解題的關鍵是分析清楚物體運動過程以及受力過程，知道滑塊A經C點恰好能夠通過半圓軌道的最高點，說明在D點由重力提供向心力，注意使用動量守恒定律時要規(guī)定正方向，難度很大．