Question

1．如圖所示，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=0.3T、方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)分布在半徑R=0.20m的圓形區(qū)域內(nèi)，圓的水平直徑上方豎直分界線MN的左側(cè)有水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)，豎直分界線PQ右側(cè)有水平向左的勻強(qiáng)電場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E=4$\sqrt{3}$×10⁴V/m，在圓的水平直徑AOC的A點(diǎn)有一粒子源，同時(shí)沿直徑AO方向射出速度分別為v₁=$\sqrt{3}$×10⁶m/s和v₂=3$\sqrt{3}$×10⁶m/s的帶正電的兩個(gè)粒子，如果粒子的比荷$\frac{q}{m}$=5.0×10⁷C/kg，且不計(jì)粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）兩個(gè)粒子分別離開(kāi)磁揚(yáng)后進(jìn)人電場(chǎng)時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離；
（2）兩個(gè)粒子第二次到達(dá)電楊邊界時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，畫出運(yùn)動(dòng)軌跡，利用半徑公式和幾何關(guān)系求出圓心角及到直徑的距離．
（2）粒子進(jìn)入電場(chǎng)處理方法類似處理類平拋，分解為垂直電場(chǎng)線的勻速運(yùn)動(dòng)和平行電場(chǎng)線的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，利用運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律求出垂直電場(chǎng)線位移和時(shí)間，最后在利用幾何關(guān)系得出結(jié)論．

解答 解：（1）兩個(gè)粒子沿直徑進(jìn)入圓形磁場(chǎng)，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律：$qvB=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$
解得：$R=\frac{mv}{qB}$
速度${v}_{1}^{\;}$的粒子半徑為${R}_{1}^{\;}=\frac{m{v}_{1}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{1}^{\;}}{B\frac{q}{m}}=\frac{\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{0.3×5.0×1{0}_{\;}^{7}}=\frac{\sqrt{3}}{15}m$
速度${v}_{2}^{\;}$的粒子半徑為${R}_{2}^{\;}=\frac{m{v}_{2}^{\;}}{qB}=\frac{{v}_{2}^{\;}}{B\frac{q}{m}}=\frac{3\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}}{0.3×5.0×1{0}_{\;}^{7}}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
畫出運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，如圖
根據(jù)幾何關(guān)系，圓弧1所對(duì)的圓心角為${θ}_{1}^{\;}$，$tan\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{{R}_{1}^{\;}}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{15}}{0.2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$可知${θ}_{1}^{\;}=60°$
離開(kāi)磁場(chǎng)進(jìn)入左側(cè)電場(chǎng)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離設(shè)為${l}_{1}^{\;}$，$tan{θ}_{1}^{\;}=\frac{{l}_{1}^{\;}}{R}$
解得：${l}_{1}^{\;}=Rtan{θ}_{1}^{\;}=Rtan60°=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
圓弧2所對(duì)的圓心角為${θ}_{2}^{\;}$，$tan\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{{R}_{2}^{\;}}{R}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{5}}{0.2}=\sqrt{3}$可知${θ}_{2}^{\;}=120°$
射出方向與直徑的OC成60°夾角，根據(jù)對(duì)稱性粒子射進(jìn)右側(cè)磁場(chǎng)，距離水平直徑的距離${l}_{2}^{\;}=\frac{\sqrt{3}}{5}m$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，Eq=ma
得$a=\frac{Eq}{m}=4\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{4}×5×1{0}_{\;}^{7}=2\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{12}$$m/{s}_{\;}^{2}$
將運(yùn)動(dòng)分解為垂直電場(chǎng)線和平行于電場(chǎng)線進(jìn)行處理
垂直電場(chǎng)線方向勻速運(yùn)動(dòng)：${v}_{⊥}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos30°=1.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
平行電場(chǎng)線方向勻變速直線運(yùn)動(dòng)：${v}_{∥}^{\;}={v}_{1}^{\;}sin30°=\frac{\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/s$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{1}^{\;}=2\frac{{v}_{∥}^{\;}}{a}=5×1{0}_{\;}^{-7}s$
垂直電場(chǎng)線位移${l}_{1}^{′}={v}_{⊥}^{\;}{t}_{1}^{\;}=0.75m$
粒子1第二次到達(dá)磁場(chǎng)邊界的位置距離圓形磁場(chǎng)水平直徑的距$△{x}_{1}^{\;}={l}_{1}^{\;}+{l}_{1}^{′}=（\frac{\sqrt{3}}{5}+0.75）m$
粒子2到達(dá)右側(cè)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和粒子1相似
垂直電場(chǎng)線：${v}_{⊥}^{\;}={v}_{2}^{\;}cos30°=3\sqrt{3}×1{0}_{\;}^{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}=4.5×1{0}_{\;}^{6}m/s$
平行電場(chǎng)線：${v}_{∥}^{\;}={v}_{2}^{\;}sin30°=\frac{3\sqrt{3}}{2}×1{0}_{\;}^{6}m/S$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：${t}_{2}^{\;}=2\frac{{v}_{∥}^{\;}}{a}=1.5×1{0}_{\;}^{-7}s$
垂直電場(chǎng)線位移：${l}_{2}^{'}={v}_{⊥}^{\;}{t}_{2}^{\;}=0.675m$
粒子2第二次到達(dá)磁場(chǎng)邊界的位置距離圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離$△{x}_{2}^{\;}={l}_{2}^{\;}+{l}_{2}^{′}=（\frac{\sqrt{3}}{5}+0.675）m$
答：（1）兩個(gè)粒子分別離開(kāi)磁揚(yáng)后進(jìn)人電場(chǎng)時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離均為$\frac{\sqrt{3}}{5}m$；
（2）兩個(gè)粒子第二次到達(dá)電楊邊界時(shí)的位置到圓形磁場(chǎng)水平直徑的距離（$\frac{\sqrt{3}}{5}+0.75$）m和（$\frac{\sqrt{3}}{5}+0.675$）m．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在圓形磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，關(guān)鍵是求出半徑，畫出軌跡．注意進(jìn)磁場(chǎng)時(shí)沿半徑，出磁場(chǎng)時(shí)必定沿半徑，在電場(chǎng)中通常運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解的方法，分解為平行于電場(chǎng)和垂直于電場(chǎng)進(jìn)行處理．